Lenguaje de conjuntos · Definición
Conjunto
Un conjunto es la forma básica de agrupar objetos en matemáticas. Aquí verás qué significa pertenecer a un conjunto y cuándo dos conjuntos son iguales.
Definición
Un conjunto \(A\) es una colección bien definida de objetos, llamados elementos: la pertenencia de un objeto a \(A\) debe poder determinarse sin ambigüedad.
También se le llama: colección bien definida
Un conjunto se determina solo por sus elementos: dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos, sin importar el orden ni las repeticiones. Así, \(\{1,2,2\} = \{2,1\}\). Además, el conjunto vacío \(\varnothing\) no tiene elementos y está contenido en cualquier conjunto.
Tomemos \(A = \{a, b, c\}\). Entonces \(b \in A\) porque b es un elemento de A, mientras que \(d \notin A\) porque d no aparece en la lista. Los elementos se cuentan sin repetir: \(A\) tiene tres elementos.
Un error típico es confundir pertenencia con contención: escribir \(a \subseteq A\) cuando en realidad se quiere decir \(a \in A\). Si \(a\) es un elemento, no es un conjunto y no puede estar contenido en A; \(\{a\} \subseteq A\) sí es correcto.
Para pensar
¿es \(\{1,2\}\) igual a \(\{2,1\}\)?
Sí, porque ambos tienen exactamente los mismos elementos; el orden no importa.
Ejercicios 10
- ¿Cuál de los siguientes describe mejor a un conjunto?
- Si x ∈ A, ¿qué significa?
- Si A = {1, 2, 3}, ¿cuál afirmación es verdadera?
- ¿Qué símbolo representa al conjunto vacío?
- ¿Cuántos elementos tiene A = {a, b}?
- Si \(A = \{1,2,3\}\), ¿cuál afirmación es verdadera?
- Dos conjuntos son iguales cuando...
- ¿Cuál afirmación es verdadera?
- Si A = {∅}, entonces...
- ¿Qué diferencia correctamente pertenencia y contención?
Referencias
- I. N. Herstein, Topics in Algebra, 2.ª edición, John Wiley & Sons, 1975.