Teoría de grupos · Definición

Subconjunto

conjuntos

Antes de empezar necesitas conocer

Un subconjunto expresa que un conjunto está contenido dentro de otro: todo lo que está en el primero también está en el segundo.

Definición

Un conjunto A es subconjunto de B cuando todo elemento de A también pertenece a B.

\[A \subseteq B \Longleftrightarrow \forall x\,(x\in A \Rightarrow x\in B)\]

Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, y el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. La relación es transitiva: si \( A \subseteq B \) y \( B \subseteq C \), entonces \( A \subseteq C \).

Con \( A = \{1,2\} \) y \( B = \{1,2,3\} \) se tiene \( A \subseteq B \), porque 1 y 2 pertenecen a B. En cambio \( B \not\subseteq A \), porque 3 no pertenece a A.

Un error frecuente es confundir ⊆ con ∈: \( \{1\} \subseteq A \) significa que 1 está en A, mientras que \( \{1\} \in A \) significa que el conjunto \{1\} es un elemento de A.

Para pensar

¿Por qué ∅ ⊆ A se cumple para cualquier conjunto A?

Porque no hay ningún elemento en ∅ que incumpla la condición; la implicación es vacuamente verdadera.

Ejercicios 10

  1. Si A = {1,2} y B = {1,2,3}, ¿qué relación es cierta?
  2. A ⊆ B significa que...
  3. ¿Cuál afirmación es falsa?
  4. Para cualquier conjunto A, siempre se cumple...
  5. El conjunto vacío es subconjunto de...
  6. Si A ⊆ B y B ⊆ C, ¿qué se puede concluir?
  7. A ⊂ B suele indicar que...
  8. ¿Cuántos subconjuntos tiene {a,b}?
  9. ¿Cuál afirmación es siempre verdadera para cualquier conjunto A?
  10. Si 1 ∈ A, ¿qué afirmación no se sigue necesariamente?

Referencias

  • I. N. Herstein, Topics in Algebra, 2.ª edición, John Wiley & Sons, 1975.