Teoría de grupos · Definición

Producto cartesiano

conjuntosfunciones

Antes de empezar necesitas conocer

El producto cartesiano combina dos conjuntos en pares ordenados. Es una de las operaciones básicas para construir relaciones y funciones.

Definición

El producto cartesiano de A y B es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera coordenada está en A y cuya segunda está en B.

\[A \times B = \{(a,b): a\in A,\ b\in B\}\]

Si \(A\) y \(B\) son finitos, \(|A \times B| = |A|\cdot|B|\). Además, \(A \times \emptyset = \emptyset\), porque no hay ningún elemento de \(\emptyset\) con el que formar un par. En general \(A \times B \neq B \times A\), salvo que \(A = B\) o alguno sea vacío.

Sea \(A=\{1,2\}\) y \(B=\{x,y\}\). Entonces \(A \times B=\{(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)\}\), con 4 pares. En cambio \(B \times A=\{(x,1),(x,2),(y,1),(y,2)\}\) es otro conjunto, aunque tenga el mismo tamaño.

Error típico: escribir \((b,a)\) como par de \(A \times B\) cuando \(a\in A\) y \(b\in B\). El orden de las coordenadas importa. Tampoco hay que sumar: el tamaño es \(|A|\cdot|B|\), no \(|A|+|B|\).

Para pensar

Si A = {1,2,3} y B = {x,y}, ¿cuántos pares tiene A × B?

6, porque 3 · 2 = 6

Ejercicios 10

  1. ¿Qué contiene A × B?
  2. Si |A| = 2 y |B| = 3, ¿cuánto vale |A × B|?
  3. En (a,b) ∈ A × B, ¿dónde está a?
  4. En general, ¿(a,b) y (b,a) representan el mismo par?
  5. ¿Qué ocurre con A × ∅?
  6. Si |A| = 3 y |B| = 2, ¿cuántos pares tiene A × B?
  7. Si A × B = ∅, entonces necesariamente...
  8. ¿Cuándo (a,b) = (c,d)?
  9. Selecciona el único par que pertenece a \({1,2} \times \{a,b\}\).
  10. En general, ¿qué relación hay entre A × B y B × A?

Referencias

  • I. N. Herstein, Topics in Algebra, 2.ª edición, John Wiley & Sons, 1975.