Ordinales y axiomas · Definición

Axiomas de Zermelo-Fraenkel

teoría de conjuntosordinales y axiomas

Antes de empezar necesitas conocer

Zermelo propuso en 1908 una primera axiomatización para evitar las paradojas de la teoría ingenua de conjuntos. Fraenkel y Skolem la completaron, y el resultado es el sistema ZF que hoy se usa como base.

Definición

Los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) son el sistema estándar de axiomas de la teoría de conjuntos, formulado en lógica de primer orden.

\[\forall x\,\forall y\,(\forall z\,(z\in x \leftrightarrow z\in y)\rightarrow x=y)\]

Los axiomas incluyen extensionalidad, existencia del conjunto vacío, par, unión, potencia, infinito, reemplazo y regularidad. Con ellos se definen pares ordenados, funciones y los números naturales como ordinales finitos, como en Enderton y Jech. La extensionalidad afirma que dos conjuntos con los mismos elementos son iguales, es decir, \( x=y \leftrightarrow \forall z\,(z\in x \leftrightarrow z\in y) \).

Ejemplo guía: el axioma del par garantiza que para cualesquiera \( a \) y \( b \) existe \( \{a,b\} \), y a partir de él se construye el par ordenado \( (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\} \). Así se obtiene el producto cartesiano \( A\times B \) como conjunto dentro de la teoría.

Error típico: creer que el axioma de elección está incluido en ZF. Se suele añadir como axioma independiente (ZFC), y su independencia de ZF fue probada por Cohen, como se explica en Jech.

Para pensar

Para pensar: ¿por qué el axioma de elección no puede deducirse de ZF?

Gödel y Cohen probaron que AC es independiente de ZF: si ZF es consistente, ni AC ni su negación se deducen de ZF.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de estos enunciados es el axioma de extensionalidad?
  2. ¿Cómo se llama el axioma que garantiza la existencia de \( \{a,b\} \) para cualesquiera \( a \) y \( b \)?
  3. ¿Qué axioma garantiza la existencia de un conjunto que contiene al vacío y es cerrado bajo el sucesor?
  4. ¿Qué axioma permite formar el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado?
  5. Si \( A=\{1,2\} \) y \( B=\{3\} \), ¿cuántos elementos tiene \( A\times B \)?
  6. ¿Cuál es la unión de la familia \( \{\{1\},\{1,2\},\{2,3\}\} \)?
  7. ¿Cuál de estas afirmaciones sobre la regularidad es correcta?
  8. ¿Qué axioma permite definir una función cuya imagen es un conjunto a partir de una fórmula aplicada a un conjunto?
  9. Sea \( A=\{\varnothing,\{\varnothing\}\} \). ¿Cuántos elementos tiene \( \mathcal{P}(A) \) y cuál es la afirmación correcta sobre \( A \in A \) según regularidad?
  10. Sea \( f:A\to B \) con \( A=\{0,1,2\} \) y \( B=\{a,b\} \). ¿Cuántas funciones inyectivas de \( A \) en \( B \) existen y qué afirmación sobre el reemplazo es correcta?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.