Teoría de grupos · Definición

Operación binaria

operacionesgrupos

Antes de empezar necesitas conocer

Una operación binaria combina dos elementos de un conjunto y produce otro elemento del mismo conjunto. Es la base para estudiar grupos, anillos y otras estructuras algebraicas.

Definición

Una operación binaria en un conjunto G es una función que toma cualesquiera dos elementos de G y devuelve un elemento de G.

\[\ast:G\times G\to G\]

También se le llama: ley de composición interna

La clausura es lo que hace que una operación sea binaria: para cualesquiera \( a,b \in G \), el resultado \( a \ast b \) debe estar en \( G \). La asociatividad y la conmutatividad no son obligatorias.

Sobre \( \mathbb{Z} \), la suma es operación binaria porque la suma de dos enteros es un entero, por ejemplo \( 3 + 5 = 8 \in \mathbb{Z} \).

Un error común es olvidar que el resultado debe pertenecer a \( G \): la resta en \( \mathbb{N} \) no sirve, pues \( 2 - 5 = -3 \notin \mathbb{N} \).

Para pensar

¿Qué exige la clausura de una operación en G?

Que \( a \ast b \in G \) para cualesquiera \( a,b \in G \).

Ejercicios 10

  1. Una operación binaria sobre G debe ser una función...
  2. ¿Cuál es una operación binaria sobre ℤ?
  3. Para ser operación binaria, el resultado debe...
  4. La resta usual en ℤ es una operación binaria porque...
  5. ¿Qué se eligen como entradas de una operación binaria?
  6. La clausura de una operación en G exige que...
  7. La asociatividad se escribe como...
  8. ¿Cuál regla es una operación binaria en ℤ?
  9. ¿Cuál de estas propiedades NO es obligatoria para que una operación sea binaria en G?
  10. ¿Qué afirmación es falsa en general?

Después de esto

Referencias

  • I. N. Herstein, Topics in Algebra, 2.ª edición, John Wiley & Sons, 1975.