Relaciones y funciones · Definición
Función
Antes de empezar necesitas conocer
La noción de función organiza cómo un conjunto se transforma en otro y es la base de casi todo el análisis matemático.
Definición
Una función f de A en B asigna a cada elemento de A exactamente un elemento de B. A es el dominio y B el codominio.
También se le llama: o aplicación
Una función \(f : A \to B\) exige dos cosas: que todo elemento de \(A\) tenga imagen y que esa imagen sea única en \(B\). Según se cumplan más condiciones, es inyectiva si entradas distintas dan salidas distintas, sobreyectiva si cada elemento de \(B\) es alcanzado, y biyectiva si ambas se cumplen.
Tomemos \(f(x) = x + 1\) de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\). Es inyectiva porque \(x + 1 = y + 1\) implica \(x = y\), y es sobreyectiva porque para cualquier \(y\) basta \(x = y - 1\). Por tanto es biyectiva y su inversa es \(f^{-1}(y) = y - 1\).
Un error frecuente es creer que \(f(x) = x^2\) de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) es inyectiva solo porque da un valor por cada \(x\). Basta ver que \(f(1) = f(-1) = 1\) con \(1 \neq -1\) para descartarlo. Tampoco hay que confundir el codominio con la imagen: el codominio es \(B\), mientras que la imagen puede ser un subconjunto propio de \(B\).
Para pensar
¿Por qué una relación que asigna dos valores a un mismo elemento no es una función?
Porque viola la unicidad: cada elemento de A debe tener exactamente una imagen en B.
Ejercicios 11
- Una función f : A → B asigna a cada elemento de A...
- En \(f : A \to B\), ¿cuál es el dominio?
- Una relación asigna a un mismo elemento de \(A\) dos valores distintos de \(B\). ¿Qué es?
- ¿Cuál regla define una función de ℝ en ℝ?
- El codominio de f : A → B es...
- Una función es inyectiva si...
- Una función f:A→B es sobreyectiva si...
- La función f(x)=x² de ℝ en ℝ no es inyectiva porque...
- ¿Cuál de estas reglas define una función de \(ℝ\) en \(ℝ\)?
- Si f es biyectiva, entonces existe una función...
- Sea \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) con \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}\) y \(f(n) = n + 1\). ¿Cuál afirmación es verdadera?
Referencias
- I. N. Herstein, Topics in Algebra, 2.ª edición, John Wiley & Sons, 1975.