Acciones y teoremas de Sylow · Definición

Acción de un grupo

álgebra modernagrupos

Antes de empezar necesitas conocer

Las acciones permiten usar un grupo para mover los elementos de un conjunto, y son la forma en que los grupos aparecen como simetrías.

Definición

Una acción de un grupo \(G\) sobre un conjunto \(X\) asigna a cada \(g,h\in G\) y \(x\in X\) un elemento \(g\cdot x\in X\), de modo que la identidad \(e\) no mueve nada y el producto de \(G\) actúa por composición.

\[e\cdot x=x,\qquad (gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)\]

El ejemplo prototípico es \(S_n\) actuando sobre \(\{1,\dots,n\}\) por \(\sigma\cdot i=\sigma(i)\); el grupo diédrico actúa sobre los vértices de un polígono, y cualquier grupo actúa sobre sí mismo por multiplicación a la izquierda, \(g\cdot x=gx\), o por conjugación, \(g\cdot x=gxg^{-1}\).

De los dos axiomas se sigue que cada \(g\) induce una biyección \(x\mapsto g\cdot x\) de \(X\), con inversa \(x\mapsto g^{-1}\cdot x\). Así, una acción es lo mismo que un homomorfismo de \(G\) al grupo de permutaciones de \(X\), lo que conecta este concepto con \(S_n\) y con el teorema de Cayley.

Es importante respetar el orden en \((gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)\): primero actúa \(h\) y después \(g\). Fórmulas como \(g\cdot x=xg\) fallan este axioma en grupos no abelianos. En lo que sigue, las acciones sirven para agrupar los elementos de \(X\) en órbitas y para contar.

Para pensar

¿Es \(g\cdot x=xg^{-1}\) una acción de \(G\) sobre sí mismo?

Sí: \(e\cdot x=x\) y \(g\cdot(h\cdot x)=xh^{-1}g^{-1}=x(gh)^{-1}=(gh)\cdot x\).

Ejercicios 10

  1. El grupo \(S_3\) actúa sobre \(X=\{1,2,3\}\) por \(g\cdot x=g(x)\). Si \(g=(1\ 2\ 3)\), ¿cuánto vale \(g\cdot1\)?
  2. En una acción de \(G\) sobre \(X\), ¿cuánto vale \(e\cdot x\) para \(x\in X\)?
  3. ¿Cuál de las siguientes fórmulas define una acción de \((\mathbb Z,+)\) sobre \(\mathbb Z\)?
  4. Sea \(S_3\) actuando sobre \(\{1,2,3\}\), con \(g=(1\ 2\ 3)\) y \(h=(1\ 2)\). Calcula \((gh)\cdot1\), componiendo de derecha a izquierda.
  5. En \(S_3\) actuando sobre \(\{1,2,3\}\), se tiene \(g\cdot1=2\) con \(g=(1\ 2\ 3)\). ¿Cuánto vale \(g^{-1}\cdot2\)?
  6. El grupo \(\mathbb Z_6\) actúa sobre sí mismo por \(g\cdot x=g+x\) (módulo 6). Calcula \(4\cdot5\).
  7. Sea \(S_3\) actuando sobre sí mismo por conjugación, \(g\cdot x=gxg^{-1}\). Calcula \((1\ 2)\cdot(1\ 2\ 3)\).
  8. En una acción de \(G\) sobre \(X\), ¿cómo es, para cada \(g\in G\), la función \(x\mapsto g\cdot x\) de \(X\) en \(X\)?
  9. \(\mathbb Z_6\) actúa sobre \(\mathbb Z_6\) por \(n\cdot x=x+2n\) (módulo 6). ¿Cuántos valores distintos toma \(n\cdot0\) cuando \(n\) recorre \(\mathbb Z_6\)?
  10. Para un grupo cualquiera \(G\), ¿cuál fórmula define siempre una acción de \(G\) sobre sí mismo?

Referencias

  • David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 2004. §1.7
  • John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 7th edition, Pearson, 2002. §16