Teoría de grupos · Definición

Grupo

álgebragrupos

Antes de empezar necesitas conocer

Un grupo es una estructura algebraica con una sola operación y pocos axiomas. Aquí aprenderás sus axiomas y a verificarlos.

Definición

Un grupo es un conjunto no vacío \(G\) junto con una operación binaria asociativa, con un elemento identidad y un inverso para cada elemento.

\[(G,\ast)\]

En un grupo la identidad es única y cada elemento tiene un único inverso. Además, la ecuación \(a x = b\) tiene solución única \(x = a^{-1} b\) en \(G\).

Ejemplo guía: en \((\mathbb{Z},+)\) el neutro es \(0\) y el inverso de \(3\) es \(-3\), porque \(3+(-3)=0\). Así se verifican los axiomas uno por uno.

Error típico: pensar que todo grupo es conmutativo. \((\mathbb{Z},+)\) lo es, pero las matrices invertibles de tamaño \(2\) con el producto no, así que \(ab\) puede ser distinto de \(ba\).

Para pensar

¿Por qué la identidad de un grupo es única?

Si \(e\) y \(e'\) son identidades, \(e = e\,e' = e'\), así que coinciden.

Ejercicios 11

  1. ¿Cuál lista contiene los axiomas de un grupo?
  2. ¿Cuál estructura es un grupo?
  3. ¿Por qué (ℤ, ·) no es un grupo?
  4. ¿Cuál es el neutro de (ℤ, +)?
  5. ¿Cuál es el inverso de 3 en (ℤ, +)?
  6. ¿Cuál estructura es un grupo con la operación indicada?
  7. \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}\) con la suma usual no es grupo porque...
  8. La identidad de un grupo debe...
  9. ¿Cuál de estas condiciones NO es un axioma de grupo?
  10. Si una operación tiene identidad e, ¿qué debe cumplirse?
  11. ¿Cuál afirmación es correcta para \((\mathbb{Q},\ast)\) con \(a\ast b=a+b+1\)?

Referencias

  • I. N. Herstein, Topics in Algebra, 2.ª edición, John Wiley & Sons, 1975.