Ejercicio · ZW-TEOREMA-DE-RIESZ-FISCHER-006 · ★★☆ Intermedio
Si \( \|f_{n+1}-f_n\|_p<2^{-n} \) para todo \( n\ge 0 \), ¿qué cota se obtiene para \( \sum_{n\ge 0} \|f_{n+1}-f_n\|_p \)?
Elige una opción.
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- D. Es menor o igual que \( 2 \)
Explicación
Con \( n\ge 0 \) la suma geométrica \( \sum_{n\ge 0} 2^{-n} \) vale \( 2 \), así que la cota es \( 2 \). Las demás opciones no siguen de la hipótesis.
Repasa el concepto: Teorema de Riesz-Fischer
El teorema de Riesz-Fischer afirma que el espacio \( L^p(\mu) \) es completo para \( 1 \le p \le \infty \), es decir, toda sucesión de Cauchy en él converge a un elemento de \( L^p(\mu) \).
\[\lim_{n,m\to\infty}\|f_n-f_m\|_p=0 \implies \exists f\in L^p:\ \|f_n-f\|_p\to 0\]
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