Ordinales y axiomas · Definición

Axioma de elección

teoría de conjuntosordinales y axiomas

Antes de empezar necesitas conocer

Parece obvio que siempre podemos elegir un elemento de cada conjunto, pero con familias infinitas esa intuición no basta. Zermelo lo formuló en 1904 para probar el teorema del buen orden.

Definición

Afirmación de que toda familia de conjuntos no vacíos admite una función de elección \(f\) que escoge un elemento de cada conjunto de la familia.

\[\forall X\,(\emptyset\notin X \rightarrow \exists f\,\forall A\in X\,(f(A)\in A))\]

El axioma de elección es independiente de ZF: Gödel mostró en 1938 que es consistente con ZF y Cohen mostró en 1963 que su negación también lo es. Equivale a varios principios, como el lema de Zorn, el teorema del buen orden y la afirmación de que toda función suprayectiva tiene inversa por la derecha. Con él, todo conjunto admite un buen orden y dos cardinales cualesquiera son comparables, de modo que los cardinales quedan totalmente ordenados.

Sea \(\mathcal{P}^*(\mathbb{R})\) la familia de los subconjuntos no vacíos de \(\mathbb{R}\). Algunos de ellos tienen un representante natural, como el ínfimo de los acotados inferiormente, pero no hay una regla conocida que escoja un elemento de cada uno. El axioma garantiza la existencia de una función de elección sobre esta familia, aunque no se sepa describirla.

Un error frecuente es creer que el axioma hace falta para familias finitas, donde la elección se hace de forma explícita y es un teorema de ZF por inducción. Otro es pensar que el axioma da una construcción concreta: solo afirma que la función existe, sin decir cómo calcularla.

Para pensar

¿Por qué no basta con escoger siempre el primer elemento de cada conjunto?

Porque sin un buen orden no hay una regla definible que elija un elemento \(\text{primero}\); esa elección requiere el axioma.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué afirma el axioma de elección?
  2. Dada una familia \(X\) de conjuntos no vacíos, ¿qué debe cumplir una función de elección \(f\)?
  3. ¿Cuál de estas afirmaciones es equivalente al axioma de elección sobre ZF?
  4. ¿En qué contexto se formula el axioma de elección como axioma independiente?
  5. ¿Qué garantiza el axioma de elección para una familia \(X\) de conjuntos no vacíos?
  6. Sea \(X=\{\{1,2\},\{3,4,5\}\}\). ¿Hace falta el axioma de elección para hallar una función de elección sobre \(X\)?
  7. Para una familia infinita de pares de calcetines indistinguibles, ¿qué se necesita para elegir un calcetín de cada par?
  8. Sea \(f:A\to B\) suprayectiva. Usando el axioma de elección, ¿qué función \(g:B\to A\) se puede construir?
  9. Un estudiante afirma que la familia \(\{(0,n): n\in\mathbb{N}, n\ge 1\}\) no admite función de elección sin el axioma. ¿Qué contraejemplo refuta su afirmación?
  10. Un alumno afirma que, sin el axioma de elección, toda función suprayectiva \(p:X\to Y\) admite inversa por la derecha. ¿Qué es correcto decir sobre esa afirmación?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.