Ejercicio · ZW-TEOREMA-DE-RIESZ-FISCHER-009 · ★★☆ Intermedio
Sea \( (f_n) \) una sucesión de Cauchy en \( L^2 \) con límite \( f \) en \( L^2 \). ¿Qué ocurre con \( \|f_n-f\|_2 \) cuando \( n\to\infty \)?
Elige una opción.
A Tiende a cero B Tiende a infinito C Oscila sin límite D Es constante e igual a \( 1 \) Ver respuesta ← Volver a la pregunta
Explicación La convergencia en norma significa que la distancia al límite se hace pequeña. Las otras opciones contradicen la completitud .
El teorema de Riesz-Fischer afirma que el espacio \( L^p(\mu) \) es completo para \( 1 \le p \le \infty \), es decir, toda sucesión de Cauchy en él converge a un elemento de \( L^p(\mu) \).
\[\lim_{n,m\to\infty}\|f_n-f_m\|_p=0 \implies \exists f\in L^p:\ \|f_n-f\|_p\to 0\]
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