Ejercicio · ZW-TEOREMA-DE-RIESZ-FISCHER-008 · ★★☆ Intermedio
¿Cuál es el límite en \( L^1([0,1]) \) de \( f_n=\mathbf{1}_{(0,1/n)} \)?
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- B. La función nula
Explicación
Como \( \mu((0,1/n))=1/n \to 0 \), la integral de \( f_n \) tiende a cero y el límite es la función nula.
Repasa el concepto: Teorema de Riesz-Fischer
El teorema de Riesz-Fischer afirma que el espacio \( L^p(\mu) \) es completo para \( 1 \le p \le \infty \), es decir, toda sucesión de Cauchy en él converge a un elemento de \( L^p(\mu) \).
\[\lim_{n,m\to\infty}\|f_n-f_m\|_p=0 \implies \exists f\in L^p:\ \|f_n-f\|_p\to 0\]
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