Integral de Lebesgue · Definición

Función medible

teoría de la medida e integraciónintegral de lebesgue

La medibilidad permite definir integrales de Lebesgue sin pasar por particiones del rango. Es un requisito necesario: sin ella la integral de Lebesgue no está definida.

Definición

Una función f: X → ℝ es medible respecto a una σ-álgebra \(\mathcal{A}\) de X si la preimagen \(f^{-1}(B)\) pertenece a \(\mathcal{A}\) para todo conjunto de Borel B de ℝ.

\[f^{-1}(B)\in\mathcal{A}\ \forall B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\]

Basta comprobar la condición para una familia generadora de Borel, como los intervalos \((a,\infty)\), y las funciones continuas son siempre medibles respecto a la σ-álgebra de Borel. Las sumas, productos y límites puntuales de funciones medibles siguen siendo medibles.

Sea \(f(x)=x^2\) en \(\mathbb{R}\) con la σ-álgebra de Borel. Como \(\{x: x^2>a\}\) es unión de intervalos abiertos para cada \(a\), basta verificar esa familia para concluir que f es medible.

Un error típico es comprobar solo unos pocos conjuntos de Borel concretos y concluir medibilidad; hay que usar un generador de la σ-álgebra. Otro error es confundir medibilidad de f con continuidad, que es solo una condición suficiente.

Para pensar

¿Por qué no basta comprobar que \(f^{-1}((a,\infty))\) es medible para un único \(a\) para concluir que f es medible?

Porque la definición exige \(f^{-1}(B)\in\mathcal{A}\) para todo Borel B, y un solo intervalo no genera toda la σ-álgebra de Borel, así que una comprobación aislada no determina la medibilidad.

Ejercicios 10

  1. ¿Cómo se llama la condición que cumple una función f cuando \(f^{-1}(B)\) está en \(\mathcal{A}\) para todo Borel B?
  2. ¿Qué σ-álgebra suele usarse en ℝ para definir la medibilidad de funciones reales?
  3. ¿Cuál de estas funciones de ℝ en ℝ NO es medible respecto a la σ-álgebra de Borel?
  4. ¿Qué tipo de conjunto es la preimagen \(f^{-1}((a,\infty))\) cuando f es medible?
  5. ¿Es toda función continua de ℝ en ℝ medible respecto a la σ-álgebra de Borel?
  6. Sea \(f(x)=\begin{cases}1 & x\ge 0\\ 0 & x<0\end{cases}\) en ℝ. ¿Cuál es \(f^{-1}((1/2,\infty))\)?
  7. Sea \(f_n(x)=x^n\) en \([0,1]\). ¿Cuál es el límite puntual \(f\) y por qué es medible?
  8. Si f y g son medibles, ¿por qué \(f+g\) es medible?
  9. Sea \(f\) medible con \(f^{-1}((a,\infty))\in\mathcal{A}\) para todo \(a\in\mathbb{R}\). ¿Qué implica esto sobre \(f^{-1}([a,\infty))\)?
  10. Sea \(f\) medible y \(g(x)=f(x)^2\). Demuestra que \(g\) es medible, indicando qué conjunto verificas para \(a<0\) y para \(a\ge 0\). ¿Cuál es la conclusión correcta?

Referencias

  • Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd edition, Wiley, 1999.
  • H. L. Royden, P. M. Fitzpatrick, Real Analysis, 4th edition, Pearson, 2010.