Medida de Lebesgue · Definición
Conjunto de Vitali
Antes de empezar necesitas conocer
El conjunto de Vitali muestra que no todos los subconjuntos de la recta pueden medirse de forma consistente con la invariancia por traslaciones. Su existencia depende de una elección que no puede hacerse explícitamente.
Definición
El conjunto de Vitali es un subconjunto de \([0,1]\) que contiene exactamente un representante de cada clase de \(\mathbb{R}\) módulo \(\mathbb{Q}\), y no es medible según Lebesgue.
La relación \(x \sim y\) si \(x-y\in\mathbb{Q}\) es de equivalencia y divide \([0,1]\) en clases disjuntas. Por el axioma de elección, existe un conjunto \(V\subseteq[0,1]\) que contiene exactamente un elemento de cada clase. La medida de Lebesgue es invariante por traslaciones y numerable-aditiva, lo que lleva a una contradicción si \(V\) fuera medible.
Tomando \(q_n\) una enumeración de \(\mathbb{Q}\cap[-1,1]\), los trasladados \(V+q_n\) son disjuntos y su unión contiene \([0,1]\) y está contenida en \([-1,2]\). Si \(m(V)=0\) la unión tendría medida nula; si \(m(V)>0\) tendría medida infinita, ambos imposibles.
Un error típico es pensar que cualquier conjunto no numerable de la recta es no medible, cuando el conjunto de Cantor, también no numerable, tiene medida nula. Otro error es creer que el conjunto de Vitali puede describirse con fórmulas explícitas; su existencia depende de forma esencial del axioma de elección.
Para pensar
¿Qué pasaría si existiera una medida invariante por traslaciones, numerablemente aditiva y con \(m([0,1])=1\) definida sobre todos los subconjuntos de \(\mathbb{R}\)?
El argumento de Vitali daría una contradicción, así que no puede existir; por eso la medida de Lebesgue se restringe a una clase más pequeña de conjuntos medibles.
Ejercicios 10
- ¿Qué axioma se usa para elegir un representante de cada clase de equivalencia en la construcción de Vitali?
- ¿Cuál es la relación de equivalencia usada para construir el conjunto de Vitali?
- ¿Qué propiedad de la medida de Lebesgue se usa en la contradicción de Vitali?
- ¿Cuál es la medida de Lebesgue del intervalo \([0,1]\)?
- ¿Cuántos racionales hay en \([-1,1]\) que se usan para trasladar el conjunto de Vitali?
- Si \(V\) es un conjunto de Vitali y \(q\in\mathbb{Q}\), ¿cuál es la medida de Lebesgue de \(V+q\) si \(m(V)=0\)?
- Si \(V\) es un conjunto de Vitali, ¿qué contiene la unión \(\bigcup_n (V+q_n)\) para una enumeración \(q_n\) de \(\mathbb{Q}\cap[-1,1]\)?
- Si \(m(V)>0\) y los trasladados \(V+q_n\) son disjuntos, ¿qué se deduce sobre la medida de su unión?
- ¿Cuál es el error al afirmar que el conjunto de Cantor no es medible porque es no numerable?
- Sea \(V\subseteq[0,1]\) un conjunto de Vitali y \(A=\bigcup_{n}(V+q_n)\) con \(q_n\) enumeración de \(\mathbb{Q}\cap[-1,1]\). Si \(V\) fuera medible, ¿qué desigualdad obtienes para \(m(V)\) y por qué lleva a contradicción?
Referencias
- Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd edition, Wiley, 1999.
- H. L. Royden, P. M. Fitzpatrick, Real Analysis, 4th edition, Pearson, 2010.