Medidas producto y con signo · Definición

Descomposición de Hahn-Jordan

teoría de la medida e integraciónmedidas producto y con signo

Toda medida con signo puede descomponerse en partes positiva y negativa usando un conjunto de Hahn. Esta idea conecta la medida con signo con las medidas positivas ordinarias.

Definición

La descomposición de Hahn-Jordan separa una medida con signo \(\nu\) en la diferencia de dos medidas positivas mutuamente singulares, \(\nu = \nu^+ - \nu^-\).

\[\nu = \nu^+ - \nu^-,\quad \nu^+ \perp \nu^-\]

Si \(\nu\) es una medida con signo sobre una \(\sigma\)-álgebra \(\mathcal{M}\), existe un conjunto de Hahn \(P\) tal que \(\nu(E)\ge 0\) para todo \(E\subseteq P\) medible y \(\nu(E)\le 0\) para todo \(E\subseteq P^c\). Con él se definen \(\nu^+(E)=\nu(E\cap P)\) y \(\nu^-(E)=-\nu(E\cap P^c)\), que son medidas positivas y mutuamente singulares.

Sea \(X=\mathbb{R}\) con \(\nu(E)=\int_E f\,dm\), donde \(f(x)=\sin x\). El conjunto \(P=\{x: \sin x\ge 0\}\) es un conjunto de Hahn, y la descomposición da \(\nu^+(E)=\int_{E\cap P}\sin x\,dm\) y \(\nu^-(E)=-\int_{E\cap P^c}\sin x\,dm\).

Un error típico es pensar que \(\nu^+\) y \(\nu^-\) son simplemente \(\nu\) restringida a dos mitades arbitrarias del espacio. El conjunto de Hahn debe ser elegido de modo que \(\nu\) sea no negativa en \(P\) y no positiva en \(P^c\); cualquier otra partición no produce la descomposición correcta.

Para pensar

¿Por qué \(\nu^+\) y \(\nu^-\) deben ser mutuamente singulares y no basta con que sean positivas?

Sin singularidad, \(\nu\) admitiría muchas descomposiciones \(\mu_1-\mu_2\), como \(\nu^+ + \lambda\) y \(\nu^- + \lambda\) para cualquier medida positiva \(\lambda\); la singularidad fija una única partición.

Ejercicios 10

  1. Enuncia qué afirma la descomposición de Hahn-Jordan para una medida con signo \(\nu\).
  2. Indica qué propiedad tienen los conjuntos \(P\) y \(P^c\) en la descomposición de Hahn.
  3. Di qué medidas positivas aparecen en la descomposición de Hahn-Jordan de \(\nu\).
  4. Nombra la medida total de una medida con signo \(\nu\) en términos de \(\nu^+\) y \(\nu^-\).
  5. Indica si la descomposición de Hahn-Jordan de una medida con signo es única.
  6. Sea \(\nu(E)=\int_E f\,dm\) con \(f(x)=x\) en \([-1,2]\). Halla \(\nu^+([-1,2])\).
  7. Con \(\nu(E)=\int_E x\,dm\) en \([-1,2]\), calcula \(\nu^-([-1,2])\).
  8. Si \(\nu\) tiene \(\nu^+(X)=3\) y \(\nu^-(X)=1\), halla \(\nu(X)\) y \(|\nu|(X)\).
  9. Sea \(\nu=\mu_1-\mu_2\) con \(\mu_1\) y \(\mu_2\) positivas y finitas. ¿Cuál es \(\nu^+\) si \(\mu_1\perp\mu_2\) con soporte \(A\) para \(\mu_1\)?
  10. Sea \(\nu(E)=\int_E (x^2-1)\,dm\) sobre \([-2,2]\). Halla \(\nu^+([-2,2])\) indicando el conjunto de Hahn.

Referencias

  • Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd edition, Wiley, 1999.
  • H. L. Royden, P. M. Fitzpatrick, Real Analysis, 4th edition, Pearson, 2010.