Sucesiones · Definición

Sucesión de Cauchy

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Antes de empezar necesitas conocer

Permite decidir si una sucesión converge sin conocer el límite: solo se mira cómo se comportan los términos entre sí.

Definición

Una sucesión \((a_n)\) es de Cauchy si, para cada \(\varepsilon>0\), existe un índice \(N\) desde el cual cualesquiera dos términos distan entre sí menos que \(\varepsilon\).

\[\forall\varepsilon>0\ \exists N:\ m,n\ge N\Rightarrow|a_m-a_n|<\varepsilon\]

Toda sucesión convergente es de Cauchy: si \(a_n\to L\), para \(m,n\) grandes ambos términos están a menos de \(\varepsilon/2\) de \(L\), y la desigualdad triangular da \(|a_m-a_n|<\varepsilon\). Lo valioso es el recíproco en \(\mathbb R\): toda sucesión de Cauchy converge. Así, convergencia y condición de Cauchy son equivalentes, y esta última no menciona el límite.

La demostración del recíproco usa lo ya visto. Una sucesión de Cauchy está acotada (desde \(N\) todos los términos están a distancia \(<1\) de \(a_N\)); por Bolzano–Weierstrass tiene una subsucesión convergente a algún \(L\); y la propiedad de Cauchy obliga a toda la sucesión a converger a ese \(L\).

Cuidado con una condición más débil: \(a_{n+1}-a_n\to0\) no basta. Las sumas parciales armónicas \(H_n\) cumplen \(H_{n+1}-H_n=\frac1{n+1}\to0\), pero \(H_{2n}-H_n\ge\frac12\), así que no son de Cauchy y divergen. La definición exige que la distancia sea pequeña para todos los pares \(m,n\ge N\), no solo para vecinos.

La equivalencia es propia de la completitud de \(\mathbb R\). En \(\mathbb Q\) las truncaciones decimales de \(\sqrt2\) son de Cauchy pero no tienen límite racional. Por eso la noción de Cauchy se usa para definir espacios completos y, en cursos posteriores, para construir \(\mathbb R\) a partir de \(\mathbb Q\).

Para pensar

Demuestra que \(a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n\) tiende a \(0\) pero \(s_n=\sum_{k=1}^n a_k\) no es de Cauchy.

Se tiene \(a_n=\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\to0\). Pero la suma telescópica da \(s_n=\sqrt{n+1}-1\), que crece sin cota; por tanto no converge y no es de Cauchy.

Si \((a_n)\) y \((b_n)\) son de Cauchy, ¿lo es \((a_n+b_n)\)?

Sí: \(|(a_m+b_m)-(a_n+b_n)|\le|a_m-a_n|+|b_m-b_n|\), y cada sumando es menor que \(\varepsilon/2\) para \(m,n\) grandes.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de estas sucesiones es de Cauchy?
  2. Para \(a_n=1/n\), ¿cuál es el menor \(N\) tal que \(|a_m-a_n|<0.01\) siempre que \(m,n\ge N\)?
  3. Si \(a_n=1/n\), calcula \(|a_{10}-a_{20}|\).
  4. Sea \(a_n=1+\dfrac{(-1)^n}{n}\). Calcula \(|a_3-a_4|\).
  5. ¿Cuál afirmación es verdadera en \(\mathbb R\)?
  6. Sea \(H_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n\). ¿Cuál es el menor valor que toma \(|H_{2n}-H_n|\) cuando \(n\ge1\)?
  7. Si \(|a_{k+1}-a_k|\le 1/2^k\) para todo \(k\), se cumple \(|a_m-a_n|<1/2^{n-1}\) para \(m>n\). ¿Cuál es el menor \(N\) que esta cota garantiza para \(|a_m-a_n|<\frac1{100}\) con \(m,n\ge N\)?
  8. ¿Por qué \(a_n=(-1)^n\) no es de Cauchy?
  9. Una sucesión de Cauchy \((a_n)\) tiene una subsucesión que converge a \(L\). ¿Qué se concluye?
  10. Sea \(a_n\) el truncamiento de \(\sqrt2\) a \(n\) decimales: \(1,\,1.4,\,1.41,\,1.414,\dots\). Considerada en \(\mathbb Q\), ¿qué ocurre?

Referencias

  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §2.6, Definición 2.6.1
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 3, Definición 3.12
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §3.5, Definición 3.5.2