Espacios Lp · Definición

Desigualdad de Minkowski

teoría de la medida e integraciónespacios lp

Es la versión para normas de la desigualdad triangular. Junto con la desigualdad de Hölder, permite demostrar que \(L^p\) es un espacio normado.

Definición

Desigualdad que afirma que la norma \(L^p\) de una suma de funciones es menor o igual que la suma de sus normas, para \(p \ge 1\).

\[\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p\]

Para \(1 \le p < \infty\) y \(f,g\) medibles con normas finitas, se cumple \(\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p\). Para \(p>1\) la prueba combina la desigualdad de Hölder con el exponente conjugado \(q\); la igualdad ocurre si una función es múltiplo positivo de la otra.

Con \(f(x)=x\), \(g(x)=1\) en \([0,1]\) y \(p=2\): \(\|f\|_2=1/\sqrt{3}\), \(\|g\|_2=1\) y \(\|f+g\|_2=\sqrt{7/3}\approx 1.53\), que es menor que \(\approx 1.58\).

Error típico: pensar que la norma de la suma es la suma de las normas. Con \(f=1\) y \(g=-1\) en \([0,1]\) se tiene \(\|f+g\|_p=0\), mientras que la suma de normas es \(2\).

Para pensar

¿Por qué tener la misma norma no basta para que se dé la igualdad en Minkowski?

Tener la misma norma fija solo el tamaño, no la dirección. Con \(f=\mathbf 1_{[0,1]}\), \(g=\mathbf 1_{[1,2]}\) y \(p=2\), ambas normas valen 1, pero \(\|f+g\|_2=\sqrt{2}<2\).

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál es la desigualdad de Minkowski para \(p \ge 1\)?
  2. ¿Para qué valores de \(p\) vale la desigualdad de Minkowski?
  3. ¿Con qué desigualdad básica de los números reales se relaciona la de Minkowski?
  4. Si \(p = 1\), ¿qué afirma la desigualdad de Minkowski?
  5. ¿Cuándo se da la igualdad en la desigualdad de Minkowski para \(1<p<\infty\)?
  6. Con \(f(x)=x\) en \([0,1]\) y \(p=2\), ¿cuánto vale \(\|f\|_2\)?
  7. Con \(f(x)=x\), \(g(x)=1\) en \([0,1]\) y \(p=2\), ¿cuánto vale \(\|f+g\|_2\)?
  8. Para \(f(x)=x\) y \(g(x)=1\) en \([0,1]\) con \(p=2\), ¿se cumple la desigualdad de Minkowski?
  9. Con \(p=1/2\), \(f=\mathbf 1_{[0,1]}\) y \(g=\mathbf 1_{[1,2]}\) en \([0,2]\), ¿cuánto vale \(\|f+g\|_{1/2}\)?
  10. Para \(0<p<1\), ¿qué propiedad de la norma deja de cumplirse en \(\|\cdot\|_p\)?

Después de esto

Referencias

  • Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd edition, Wiley, 1999.
  • H. L. Royden, P. M. Fitzpatrick, Real Analysis, 4th edition, Pearson, 2010.