Espacios Lp · Definición

Teorema de Riesz-Fischer

teoría de la medida e integraciónespacios lp

Antes de empezar necesitas conocer

Los espacios \( L^p \) son el marco natural del análisis funcional moderno. Este teorema garantiza que las sucesiones de Cauchy no escapan de ellos.

Definición

El teorema de Riesz-Fischer afirma que el espacio \( L^p(\mu) \) es completo para \( 1 \le p \le \infty \), es decir, toda sucesión de Cauchy en él converge a un elemento de \( L^p(\mu) \).

\[\lim_{n,m\to\infty}\|f_n-f_m\|_p=0 \implies \exists f\in L^p:\ \|f_n-f\|_p\to 0\]

Si \( (f_n) \) es de Cauchy en \( L^p(\mu) \), se extrae una subsucesión \( (f_{n_k}) \) con \( \|f_{n_{k+1}}-f_{n_k}\|_p < 2^{-k} \). Por la desigualdad de Minkowski, la función \( g=\sum_k |f_{n_{k+1}}-f_{n_k}| \) cumple \( \|g\|_p \le 1 \), así que es finita en casi todo punto. La serie \( f_{n_1}+\sum_k (f_{n_{k+1}}-f_{n_k}) \) converge absolutamente c.t.p. a un límite \( f \).

Tomemos \( \mu \) la medida de Lebesgue en \([0,1]\) y \( f_n = n\,\mathbf{1}_{(0,1/n)} \) en \( L^1 \). Como \( \|f_n-f_m\|_1 \) no tiende a cero, esta sucesión no es de Cauchy; en cambio \( f_n=\mathbf{1}_{(0,1/n)} \) en \( L^1 \) sí lo es y converge a \( 0 \) en norma. Con el lema de Fatou se verifica que \( \|f_n-f\|_p \to 0 \).

Un error típico es concluir que la convergencia puntual de la subsucesión implica convergencia en \( L^p \) sin probar la acotación de \( g \). Sin la desigualdad de Minkowski no hay control de \( g \) y el argumento colapsa.

Para pensar

¿Por qué \( C[0,1] \) con la norma \( L^1 \) no es un espacio completo?

Porque una sucesión de funciones continuas puede converger en \( L^1 \) a una función discontinua, como una indicadora, que no está en \( C[0,1] \).

Ejercicios 10

  1. ¿Qué espacio asegura el teorema de Riesz-Fischer que es completo?
  2. ¿Qué tipo de sucesión aparece como hipótesis en el teorema?
  3. ¿Qué desigualdad se usa para acotar la norma de la suma de diferencias?
  4. ¿Qué tipo de convergencia se obtiene para la subsucesión construida?
  5. ¿En qué espacio se verifica el teorema para \( p=2 \)?
  6. Si \( \|f_{n+1}-f_n\|_p<2^{-n} \) para todo \( n\ge 0 \), ¿qué cota se obtiene para \( \sum_{n\ge 0} \|f_{n+1}-f_n\|_p \)?
  7. Si \( g=\sum_k |h_k| \) con \( \|g\|_p\le 1 \), ¿qué se concluye sobre \( g \)?
  8. ¿Cuál es el límite en \( L^1([0,1]) \) de \( f_n=\mathbf{1}_{(0,1/n)} \)?
  9. Sea \( (f_n) \) una sucesión de Cauchy en \( L^2 \) con límite \( f \) en \( L^2 \). ¿Qué ocurre con \( \|f_n-f\|_2 \) cuando \( n\to\infty \)?
  10. Sea \( f_n=\mathbf{1}_{(n,n+1)} \) en \( L^1(\mathbb{R}) \). ¿Es de Cauchy? Si lo es, ¿tiene límite en \( L^1 \)?

Referencias

  • Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd edition, Wiley, 1999.
  • H. L. Royden, P. M. Fitzpatrick, Real Analysis, 4th edition, Pearson, 2010.