Ejercicio · ZW-TEOREMA-DEL-NUMERO-PENTAGONAL-006 · ★★☆ Intermedio
Calcula el coeficiente de \(x^{7}\) en \(\prod_{n\ge1}(1-x^n)\) usando el teorema del número pentagonal.
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Explicación
El 7 es pentagonal generalizado con \(k=-2\), pues \((-2)(-7)/2=7\), y su signo es \((-1)^{-2}=+1\). Por eso el coeficiente de \(x^{7}\) es \(+1\).
Repasa el concepto: Teorema del número pentagonal
El teorema del número pentagonal (Euler) afirma que el producto \(\prod_{n\ge1}(1-x^n)\) equals una suma alternada de potencias de \(x\) con exponentes pentagonales generalizados.
\[\prod_{n\ge1}(1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^k x^{k(3k-1)/2}\]
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