Composiciones y particiones · Definición

Teorema del número pentagonal

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Antes de empezar necesitas conocer

Este resultado describe por completo el desarrollo en serie del producto de Euler. Conecta la función generadora de particiones con una suma muy sencilla de coeficientes \(\pm1\).

Definición

El teorema del número pentagonal (Euler) afirma que el producto \(\prod_{n\ge1}(1-x^n)\) equals una suma alternada de potencias de \(x\) con exponentes pentagonales generalizados.

\[\prod_{n\ge1}(1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^k x^{k(3k-1)/2}\]

Los exponentes \(k(3k-1)/2\) para \(k\in\mathbb{Z}\) son los números pentagonales generalizados, y su signo es \((-1)^k\). Como consecuencia, la mayoría de coeficientes del producto son cero, y solo los exponentes pentagonales aparecen con coeficiente no nulo.

Para \(x^{5}\), los exponentes pentagonales cercanos son \(0,1,2,5,7\) con signos \(+,-,-,+,+\). Así, el coeficiente de \(x^5\) en \(\prod(1-x^n)\) es \(+1\), lo que se confirma al expandir los primeros factores y contar las combinaciones de exponentes distintos.

Un error típico es olvidar que \(k\) recorre también los enteros negativos, de modo que solo se incluyen los exponentes positivos \(1,2,5,7\) y se pierde el término \(x^{0}\). Otro error es asignar signo positivo a todos los términos, lo que ignora la alternancia \((-1)^k\).

Para pensar

¿Qué pasaría con el desarrollo si solo se usaran valores de \(k\ge0\)?

Se perderían exponentes como \(2\) y \(7\), con coeficientes no nulos, y el desarrollo quedaría incompleto.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué signo tiene el término de exponente \(k(3k-1)/2\) cuando \(k=1\) en la suma del teorema?
  2. ¿Cuál es el exponente pentagonal generalizado obtenido con \(k=2\)?
  3. ¿Qué exponente da \(k=-1\) en \(k(3k-1)/2\)?
  4. ¿Cuál es el coeficiente de \(x^{0}\) en \(\prod_{n\ge1}(1-x^n)\)?
  5. ¿Cuál es el signo del término \(x^{1}\) en el desarrollo del producto?
  6. Calcula el coeficiente de \(x^{7}\) en \(\prod_{n\ge1}(1-x^n)\) usando el teorema del número pentagonal.
  7. ¿Cuántos exponentes menores que 10 tienen coeficiente no nulo en \(\prod_{n\ge1}(1-x^n)\)?
  8. ¿Es cierto que todo exponente \(m\) con coeficiente no nulo en \(\prod_{n\ge1}(1-x^n)\) es par?
  9. Demuestra con el teorema que el coeficiente de \(x^{22}\) en \(\prod_{n\ge1}(1-x^n)\) es 1, indicando el valor de \(k\).
  10. Sea \(c_m\) el coeficiente de \(x^m\) en \(\prod_{n\ge1}(1-x^n)\). ¿Cuál es \(c_{15}\)?

Referencias

  • Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 1, 2nd edition, Cambridge University Press, 2012.
  • Herbert S. Wilf, generatingfunctionology, 3rd edition, A K Peters, 2006.