Ciclo de una permutación

El ciclo \((a_1\ a_2\ \cdots\ a_k)\) no cambia si se empieza por otro de sus elementos: \((1\ 2\ 3)=(2\ 3\ 1)=(3\ 1\ 2)\). Un ciclo de longitud 2 se llama transposición, y uno de longitud 1 es la identidad. El inverso se obtiene recorriendo el ciclo al revés, \((a_1\ a_2\ \cdots\ a_k)^{-1}=(a_k\ \cdots\ a_2\ a_1)\).

Dos ciclos son disjuntos si no comparten elementos, y entonces conmutan. Si comparten elementos, el orden importa: con la composición de derecha a izquierda, \((1\ 2)(2\ 3)=(1\ 2\ 3)\), mientras que \((2\ 3)(1\ 2)=(1\ 3\ 2)\).

Toda permutación de un conjunto finito se escribe como producto de ciclos disjuntos, de forma única salvo el orden de los factores. Para hallarla se parte de un elemento, se sigue su trayectoria hasta volver a él y se repite con un elemento aún no visitado; los elementos fijos no se escriben. Por ejemplo, la lista \([2,1,4,5,3,6]\) es \((1\ 2)(3\ 4\ 5)\).