Ejercicio · ZW-TEOREMA-DEL-NUMERO-PENTAGONAL-009 · ★★★ Avanzado
Demuestra con el teorema que el coeficiente de \(x^{22}\) en \(\prod_{n\ge1}(1-x^n)\) es 1, indicando el valor de \(k\).
Elige una opción.
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- B. 1, con k=4 y signo \((-1)^4\)
Explicación
Con \(k=4\) se obtiene \(4(11)/2=22\) y el signo es \((-1)^4=+1\), así que el coeficiente es 1. Tomar el signo como negativo o descartar 22 como no pentagonal son errores típicos.
Repasa el concepto: Teorema del número pentagonal
El teorema del número pentagonal (Euler) afirma que el producto \(\prod_{n\ge1}(1-x^n)\) equals una suma alternada de potencias de \(x\) con exponentes pentagonales generalizados.
\[\prod_{n\ge1}(1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^k x^{k(3k-1)/2}\]
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