Coeficiente binomial

El coeficiente binomial es el mismo número \(C(n,k)\) de las combinaciones con otra notación, que se lee «\(n\) sobre \(k\)» y destaca que es un número con vida propia. Por ejemplo, \(\dbinom{6}{2}=\dfrac{6!}{2!\,4!}=15\): hay 15 parejas posibles en un grupo de 6 personas. En la práctica se calcula cancelando factores, \(\dbinom{n}{k}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\), sin evaluar factoriales completos.

Satisface la simetría \(\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}\), los valores extremos \(\dbinom{n}{0}=\dbinom{n}{n}=1\) y la regla de Pascal \(\dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1}=\dbinom{n+1}{k+1}\). Esta última se explica contando: los subconjuntos de \(k+1\) elementos de un conjunto de \(n+1\) o bien no contienen a un elemento fijo, o bien sí lo contienen. Con ella se arma el triángulo de Pascal, donde cada número es la suma de los dos que tiene encima.

Si se suman todos los coeficientes de una fila se cuentan todos los subconjuntos de un conjunto de \(n\) elementos, de modo que \(\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}=2^n\). Los coeficientes también cuentan caminos en una cuadrícula: ir de una esquina a la opuesta con \(a\) pasos a la derecha y \(b\) hacia arriba da \(\dbinom{a+b}{a}\) caminos, porque basta decidir en cuáles de los \(a+b\) pasos se va a la derecha.

Error típico: confundir \(\dbinom{n}{k}\) con una fracción o con \(n^k\); es un entero que crece rápido hacia el centro de la fila y es simétrico. Estos mismos números son los coeficientes del teorema del binomio.