Acciones y teoremas de Sylow · Definición

Órbita y estabilizador

álgebra modernagrupos

Antes de empezar necesitas conocer

Para entender cómo se reparte un conjunto bajo la acción de un grupo hacen falta dos preguntas: a dónde puede llegar un punto, y qué elementos del grupo lo dejan quieto.

Definición

Si un grupo \(G\) actúa sobre un conjunto \(X\), la órbita de \(x\in X\) es el conjunto de todas sus imágenes \(g\cdot x\), y su estabilizador es el subgrupo de los elementos de \(G\) que lo dejan fijo.

\[\mathrm{Orb}(x)=\{g\cdot x : g\in G\},\qquad \mathrm{Est}(x)=\{g\in G : g\cdot x=x\}\]

La órbita de \(x\) responde la primera pregunta: agrupa los puntos que se alcanzan desde \(x\) con algún \(g\in G\). Dos órbitas son iguales o disjuntas, porque \(y\in\mathrm{Orb}(x)\) equivale a \(\mathrm{Orb}(y)=\mathrm{Orb}(x)\). Así, las órbitas forman una partición de \(X\), exactamente como las clases laterales parten un grupo. Si solo hay una órbita, la acción se llama transitiva.

El estabilizador responde la segunda. Es un subgrupo de \(G\), pues la identidad fija todo, y si \(g\) y \(h\) fijan a \(x\), también fijan \(x\) el producto \(gh\) y el inverso \(g^{-1}\). Cuando \(\mathrm{Est}(x)=G\), el punto \(x\) es fijo; cuando \(\mathrm{Est}(x)=\{e\}\) la acción es libre en \(x\). En la acción de \(G\) sobre sí mismo por multiplicación a la izquierda, todos los estabilizadores son triviales y la única órbita es \(G\).

Ejemplo guía: \(S_3\) actúa sobre \(\{1,2,3\}\). La órbita de \(1\) es todo el conjunto y su estabilizador es \(\{e,(2\ 3)\}\). Los estabilizadores de \(2\) y \(3\) son \(\{e,(1\ 3)\}\) y \(\{e,(1\ 2)\}\): distintos, pero conjugados entre sí, porque si \(y=g\cdot x\) entonces \(\mathrm{Est}(y)=g\,\mathrm{Est}(x)\,g^{-1}\).

Un error común es creer que el estabilizador es un subconjunto de \(X\) o que la órbita es un subgrupo; es al revés: la órbita vive en \(X\) y el estabilizador en \(G\). Estos dos objetos se relacionan por una igualdad de tamaños, que es el tema del teorema órbita-estabilizador.

Para pensar

¿Puede un punto de una acción tener estabilizador distinto del de otro punto de su misma órbita?

Sí. Son conjugados, \(\mathrm{Est}(g\cdot x)=g\,\mathrm{Est}(x)\,g^{-1}\), pero pueden ser subgrupos distintos, como en \(S_3\) actuando sobre \(\{1,2,3\}\). Solo coinciden siempre si el estabilizador es normal.

Ejercicios 10

  1. El grupo \(S_3\) actúa sobre \(\{1,2,3\}\) por \(g\cdot x=g(x)\). ¿Cuántos elementos tiene la órbita de \(1\)?
  2. Sea \(G=\langle(1\ 2\ 3)(4\ 5)\rangle\le S_5\) actuando por \(g\cdot x=g(x)\). ¿Cuál es la órbita de \(4\)?
  3. Con el mismo grupo \(G=\langle(1\ 2\ 3)(4\ 5)\rangle\), ¿cuál es el estabilizador de \(1\)?
  4. El grupo de simetrías del cuadrado (orden \(8\)) actúa sobre sus cuatro vértices. ¿Cuántos elementos tiene el estabilizador de un vértice?
  5. Para una acción de \(G\) sobre \(X\) y \(x\in X\), ¿cuál afirmación es siempre verdadera?
  6. Sea \(G=\langle(1\ 2)(3\ 5)\rangle\le S_5\) actuando sobre \(\{1,2,3,4,5\}\). ¿Cuántas órbitas distintas hay?
  7. Un grupo \(G\) actúa sobre sí mismo por \(g\cdot x=gx\). ¿Cuál es el estabilizador de un elemento \(x\)?
  8. Si \(y=g\cdot x\) en una acción de \(G\), ¿cuál es el estabilizador de \(y\) en términos del de \(x\)?
  9. \(S_4\) actúa sobre los subconjuntos de dos elementos de \(\{1,2,3,4\}\) por \(g\cdot\{a,b\}=\{g(a),g(b)\}\). ¿Cuántos elementos tiene el estabilizador de \(\{1,2\}\)?
  10. En una acción de \(G\) sobre \(X\), el estabilizador de \(x\) es todo \(G\). ¿Cuál es la órbita de \(x\)?

Referencias

  • David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 2004. §1.7 y §4.1
  • John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 7th edition, Pearson, 2002. §16
  • Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 9th edition, Cengage, 2017. cap. 29