Geometría riemanniana · Definición
Derivada temporal
Antes de empezar necesitas conocer
En LDDMM, la deformación \(\varphi_t\) evoluciona en el tiempo y su derivada describe la velocidad de ese cambio.
Definición
La derivada temporal \(\dot{\varphi}_t\) describe cómo cambia una deformación al variar el parámetro temporal \(t\).
Propiedades: \(\dot{\varphi}_t\) es la derivada de \(\varphi_t\) respecto de \(t\) y cumple \(\dot{\varphi}_t=v_t\circ\varphi_t\) con \(\varphi_0=\operatorname{id}\). Si \(v_t\) es suave, cada \(\varphi_t\) es un difeomorfismo.
Ejemplo guía: si \(v_t=c\) es constante, entonces \(\varphi_t(x)=x+tc\) y \(\dot{\varphi}_t=c\), así que la deformación se desplaza con velocidad constante.
Error típico: confundir \(\dot{\varphi}_t\) con \(\varphi_t\) o con su inversa. La derivada mide cómo cambia la deformación, no su valor en un instante fijo.
Para pensar
¿Qué relación cumple \(\dot{\varphi}_t\) con el campo \(v_t\)?
\(\dot{\varphi}_t=v_t\circ\varphi_t\)
Ejercicios 11
- En la ecuación de LDDMM, ¿qué representa \(\dot{\varphi}_t\)?
- Si \(\dot{\varphi}_t=0\) para todo \(t\), ¿qué ocurre con el flujo?
- La igualdad \(\dot{\varphi}_t=v_t\circ\varphi_t\) es una forma de...
- ¿Qué diferencia hay entre \(\dot{\varphi}_t\) y una aceleración?
- ¿Cuál es la condición inicial del flujo \(\varphi_t\) en un problema de valor inicial?
- ¿Qué es la derivada temporal de \(\varphi_t\)?
- ¿Cómo se escribe la derivada temporal de \(\varphi_t\)?
- ¿Qué indica el orden de una derivada temporal?
- ¿Qué es el flujo \(\varphi_t\) en LDDMM?
- Si \(\dot{\varphi}_t=v_t\circ\varphi_t\) y \(v_t\) es nulo, ¿qué ocurre con \(\varphi_t\)?
- Si \(v_t(x)=x\) para todo \(t\) y \(\varphi_0=\operatorname{id}\), ¿cuál es \(\varphi_1(x)\)?
Después de esto
Referencias
- M. Faisal Beg, Michael I. Miller, Alain Trouvé, Laurent Younes, Computing Large Deformation Metric Mappings via Geodesic Flows of Diffeomorphisms, 2005.