Geometría riemanniana · Definición

Flujo difeomorfo

geometría diferencialgeometría riemannianaLDDMM

Antes de empezar necesitas conocer

Un flujo difeomorfo describe una deformación continua del espacio mediante una familia de transformaciones suaves e invertibles indexadas por el tiempo. Es la base de LDDMM, donde la deformación se genera integrando un campo de velocidades.

Definición

Un flujo difeomorfo \(\varphi_t\) es una familia de deformaciones parametrizada por el tiempo \(t\), donde cada instante conserva una transformación invertible y suave.

\[\{\varphi_t\}_{t\in[0,1]},\quad \varphi_0=\operatorname{id}\]

Las propiedades básicas son que \(\varphi_0=\operatorname{id}\), que cada \(\varphi_t\) es biyectiva y suave, y que su inversa también es suave. Estas condiciones permiten seguir cada punto hacia adelante y hacia atrás en el tiempo sin que el espacio se rompa ni se pliegue.

Ejemplo guía: en \(\mathbb{R}\) con campo constante \(v_t(x)=1\), el flujo es \(\varphi_t(x)=x+t\). Cada punto se mueve a la misma velocidad, así que \(\varphi_t\) es una traslación, un difeomorfismo con inversa \(x-t\).

Error típico: confundir el campo \(v_t\) con el desplazamiento total \(\varphi_t(x)-x\). El campo es una velocidad instantánea; el desplazamiento se obtiene integrando \(v_t\) sobre todo el intervalo de tiempo.

Para pensar

¿Por qué un flujo difeomorfo debe tener inversa en cada instante?

Porque así cada punto puede seguirse hacia atrás y la deformación no rompe ni pliega el espacio.

Ejercicios 11

  1. Para un punto \(x\), la ecuación de flujo se interpreta como \(\dot{\varphi}_t(x)=v_t(\varphi_t(x))\). ¿Qué describe?
  2. ¿Qué papel cumple \(\varphi_0=\operatorname{id}\) en un flujo?
  3. Si dos flujos tienen el mismo mapa final pero recorren caminos distintos, ¿qué puede variar?
  4. ¿Qué hipótesis sobre \(v_t\) ayuda a que la ecuación del flujo tenga una trayectoria suave y bien determinada?
  5. ¿Cuál descripción es compatible con un flujo difeomorfo \(\{\varphi_t\}\)?
  6. ¿Qué significa que \(\varphi_t\) sea un difeomorfismo?
  7. ¿Qué es el campo \(v_t\) en LDDMM?
  8. ¿Qué significa que el flujo se parametrice por \(t\in[0,1]\)?
  9. ¿Qué hace el mapa final \(\varphi_1\) en LDDMM?
  10. Si el campo \(v_t\) es idénticamente nulo para todo \(t\), ¿qué ocurre con el flujo \(\varphi_t\)?
  11. Sea \(v_t(x)=2x\) en \(\mathbb{R}\) con \(\varphi_0=\operatorname{id}\). ¿Cuál es \(\varphi_1\circ\varphi_{1/2}^{-1}(3)\)?

Después de esto

Referencias

  • M. Faisal Beg, Michael I. Miller, Alain Trouvé, Laurent Younes, Computing Large Deformation Metric Mappings via Geodesic Flows of Diffeomorphisms, 2005.