Geometría riemanniana · Definición

Energía mínima

geometría riemannianaoptimizaciónLDDMM

Antes de empezar necesitas conocer

La energía mínima resume el costo de la mejor deformación admisible, es decir, la que exige menos esfuerzo entre las que cumplen \(\mathcal{A}\).

Definición

La energía mínima \(E_{\min}\) es el menor costo entre las deformaciones \(\varphi\) de una clase admisible \(\mathcal A\); en LDDMM mide cuánto esfuerzo requiere el campo que genera la transformación.

\[E_{\min}=\min_{\varphi\in\mathcal{A}}E(\varphi)\]

Por definición, \(E_{\min}\le E(\varphi)\) para toda \(\varphi\in\mathcal{A}\). El mínimo se alcanza cuando existe una deformación admisible que realiza ese costo más bajo.

Supongamos una plantilla que debe llegar a un objetivo. Si \(E(\varphi_A)=2\) y \(E(\varphi_B)=5\), ambas admisibles, entonces \(E_{\min}\le 2\) y \(\varphi_A\) es la mejor candidata entre estas dos.

Un error común es comparar energías de deformaciones que no cumplen el objetivo: una energía muy baja no sirve si no está en \(\mathcal{A}\). Por eso el mínimo se toma solo sobre el conjunto admisible.

Para pensar

Si el conjunto admisible se agranda, ¿puede subir el valor de \(E_{\min}\)?

No: con más candidatas el mínimo solo puede mantenerse o bajar.

Ejercicios 11

  1. Si \(\mathcal{A}\) es el conjunto de deformaciones admisibles, ¿qué expresa \(E_{\min}=\min_{\varphi\in\mathcal{A}}E(\varphi)\)?
  2. Dos transformaciones llegan al mismo objetivo: \(E(\varphi_A)=2\) y \(E(\varphi_B)=5\). Si ambas son admisibles, ¿qué puede afirmarse?
  3. Si se cambia la norma usada para medir \(v_t\), ¿qué puede cambiar aunque los extremos sean los mismos?
  4. Una deformación de energía muy baja no satisface la condición de llegar al objetivo. ¿Por qué no puede ser la solución de LDDMM?
  5. ¿Qué determina directamente el valor de la energía de un flujo en LDDMM?
  6. ¿Qué significa que una deformación sea admisible en LDDMM?
  7. ¿Cómo se llama el menor valor de \(E\) sobre el conjunto admisible?
  8. ¿Qué representa el campo \(v_t\) en LDDMM?
  9. ¿Qué indica una energía más baja entre dos deformaciones admisibles?
  10. Dos deformaciones admisibles \(\varphi_1\) y \(\varphi_2\) tienen \(E=4\) cada una. ¿Qué se puede afirmar?
  11. Sea \(E(\varphi_k)=(k-3)^2+2\) para \(k=1,\dots,5\), con \(\mathcal{A}=\{\varphi_1,\varphi_4,\varphi_5\}\). ¿Cuál es \(E_{\min}\)?

Después de esto

Referencias

  • M. Faisal Beg, Michael I. Miller, Alain Trouvé, Laurent Younes, Computing Large Deformation Metric Mappings via Geodesic Flows of Diffeomorphisms, 2005.