Derivadas · Definición
Derivada
Antes de empezar necesitas conocer
La derivada es la herramienta central del cálculo para medir cómo cambia una función en un punto.
Definición
La derivada de \(f\) en \(a\) es el límite del cociente incremental cuando \(h\to0\). Mide la razón de cambio instantánea y es la pendiente de la recta tangente en \((a,f(a))\).
La derivada mide qué tan rápido cambia una función en un punto. Se define como el límite del cociente incremental: la pendiente de la recta secante cuando los dos puntos se juntan, \(f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\).
Tiene muchas lecturas según el contexto: pendiente de la tangente (geometría), velocidad instantánea (física), razón de cambio (economía, biología). Es la misma idea con distintos nombres.
Una función puede ser continua en un punto sin ser derivable (por ejemplo, el pico de |x| en 0). Derivable implica continua, pero no al revés.
Para pensar
¿Es \(|x|\) derivable en 0?
No: el límite por la izquierda del cociente incremental es −1 y por la derecha es 1; no coinciden.
¿Es \(f(x)=x^2\sin(1/x)\), con \(f(0)=0\), derivable en \(0\)?
Sí, con \(f'(0)=0\): el cociente es \(h\sin(1/h)\), que está acotado por \(|h|\to0\).
Ejercicios 20
- El número \(f'(a)\) representa...
- Si una función es derivable en a, entonces...
- Usando la definición de derivada como límite, ¿cuánto vale \(f'(2)\) si \(f(x)=x^{2} + x\)?
- Usando la definición de derivada como límite, ¿cuánto vale \(f'(1)\) si \(f(x)=3 x^{2} - 2 x\)?
- Usando la definición de derivada como límite, ¿cuánto vale \(f'(2)\) si \(f(x)=x^{3}\)?
- Usando la definición de derivada como límite, ¿cuánto vale \(f'(4)\) si \(f(x)=\sqrt{x}\)?
- Usando la definición de derivada como límite, ¿cuánto vale \(f'(2)\) si \(f(x)=\frac{1}{x}\)?
- ¿Cuál es la definición de la derivada de \(f\) en \(a\) como límite?
- Sea \(f(x)=|x|\). ¿Qué ocurre con \(f'(0)\)?
- Si \(f(x)=c\) con \(c\) constante, ¿cuánto vale \(f'(x)\)?
- Calcula la derivada de \(f(x)=x^2\) en \(c=3\) con la definición.
- Calcula \(f'(2)\) para \(f(x)=1/x\).
- Calcula \(f'(4)\) para \(f(x)=\sqrt x\).
- Interpreta \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2}\) como una derivada y calcúlalo.
- Para \(f(x)=x^3\) en \(c=1\), ¿a qué es igual el cociente incremental \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\) con \(h\ne0\)?
- Para \(f(x)=|x|\), ¿qué ocurre con \(f'(0)\)?
- Para \(f(x)=x|x|\), ¿cuánto vale \(f'(0)\)?
- La recta tangente a \(f(x)=x^2\) en el punto de abscisa \(1\) es:
- Sea \(f(x)=x^{1/3}\) (raíz cúbica real). ¿Qué sucede con \(f'(0)\)?
- Sea \(f(x)=x^2\) si \(x\le1\) y \(f(x)=ax+b\) si \(x>1\). ¿Para qué \(a,b\) existe \(f'(1)\)?
Referencias
- James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.
- Michael Spivak, Calculus, 4.ª edición, Publish or Perish, 2008.
- Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §5.2, Definición 5.2.1
- Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 5, Definición 5.1
- Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §6.1, Definición 6.1.1