Relaciones y funciones · Definición
Composición e inversa
Antes de empezar necesitas conocer
Componer funciones encadena transformaciones entre conjuntos, y la inversa devuelve cada elemento a su origen. Ambas ideas sostienen gran parte del trabajo con funciones.
Definición
La composición \(g\circ f\) aplica primero \(f\) y después \(g\). La inversa \(f^{-1}\) existe cuando \(f\) es biyectiva y deshace su acción.
Dadas \(f\colon A\to B\) y \(g\colon B\to C\), la composición \(g\circ f\colon A\to C\) se define por \((g\circ f)(x)=g(f(x))\). Para que tenga sentido, el codominio de \(f\) debe estar contenido en el dominio de \(g\). La composición es asociativa, pero en general no es conmutativa.
Una función \(f\colon A\to B\) tiene inversa \(f^{-1}\colon B\to A\) exactamente cuando es biyectiva. Entonces \(f^{-1}\circ f=\mathrm{id}_A\) y \(f\circ f^{-1}=\mathrm{id}_B\), y la inversa es única. Si \(f\) solo es inyectiva, puede definirse una inversa sobre su imagen, pero no sobre todo \(B\).
Si \(f\) y \(g\) son biyectivas, \((g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\): el orden se invierte, como al deshacer los pasos de una receta. Error típico: escribir \(g^{-1}\circ f^{-1}\) sin comprobarlo. Ejemplo guía: con \(f(x)=x+1\) y \(g(x)=2x\) en \(\mathbb{R}\), \((g\circ f)(x)=2x+2\) y su inversa es \(\frac{x-2}{2}\).
Para pensar
¿Por qué la inversa de \(g\circ f\) invierte el orden de f y g?
Porque al deshacer los pasos se deshace primero el último, \(g\), y luego \(f\).
Ejercicios 30
- ¿Qué significa que \(f\colon A\to B\) tenga inversa \(f^{-1}\colon B\to A\)?
- Si \(f\colon A\to B\) y \(g\colon B\to C\), ¿de qué conjunto a qué conjunto va \(g\circ f\)?
- ¿Cuál es la inversa de la identidad \(\mathrm{id}_A\)?
- Sea \(f=\{(1,b),(2,c),(3,a)\}\) una biyección de \(\{1,2,3\}\) en \(\{a,b,c\}\). ¿Cuánto vale \(f^{-1}(a)\)?
- ¿Qué identidad cumple la inversa \(f^{-1}\) de una biyección \(f\colon A\to B\)?
- Con \(f(x)=x+1\) y \(g(x)=x^2\) en \(\mathbb{R}\), ¿cuánto vale \((g\circ f)(2)\)?
- ¿Siempre se cumple \(g\circ f=f\circ g\)?
- Si \(f\) y \(g\) son biyecciones, ¿cuál es \((g\circ f)^{-1}\)?
- Sea \(f\colon A\to B\) y \(h\colon B\to A\) con \(h\circ f=\mathrm{id}_A\). ¿Qué se puede afirmar de \(f\)?
- Si \(g\circ f\) es suprayectiva, ¿qué se deduce de \(g\)?
- Si \(g:M\to N\) y \(f:N\to P\), ¿qué significa \((f\circ g)(x)\)?
- Si \(f\) y \(g\) son invertibles, ¿cuál fórmula respeta el orden correcto?
- ¿Por qué importa el orden en una composición?
- Si \(g\circ f\) es inyectiva, ¿qué se puede afirmar de \(g\)?
- ¿Qué ley de la composición es válida siempre?
- ¿Qué hace \(\operatorname{id}_M\) a un punto \(x\in M\)?
- Si \(f\colon A\to B\), ¿por qué \(f\circ\mathrm{id}_A=f\)?
- Si \(f:M\to N\), ¿qué composición está bien tipada?
- ¿Cuál afirmación distingue la identidad de una deformación no trivial?
- ¿Cuál afirmación sobre \(\operatorname{id}_M\) es falsa?
- Si \(g:M\to N\) y \(f:N\to P\), ¿qué significa \((f\circ g)(x)\)?
- Si \(f\) y \(g\) son invertibles, ¿cuál fórmula respeta el orden correcto?
- ¿Por qué importa el orden en una composición?
- En \(\dot{\varphi}_t=v_t\circ\varphi_t\), ¿qué aporta la composición?
- Selecciona leyes válidas de la composición.
- ¿Qué hace \(\operatorname{id}_M\) a un punto \(x\in M\)?
- ¿Por qué aparece \(\varphi_0=\operatorname{id}\) al iniciar un flujo de registro?
- Si \(f:M\to N\), ¿qué composición está bien tipada?
- ¿Cuál afirmación distingue la identidad de una deformación no trivial?
- Selecciona propiedades de \(\operatorname{id}_M\).
Después de esto
Referencias
- Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
- Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.
- John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd edition, Springer, 2013.