Geometría riemanniana · Definición

Campo de velocidades

geometría diferencialgeometría riemannianaLDDMM

Antes de empezar necesitas conocer

Un campo vectorial asigna a cada punto una velocidad; en LDDMM es el objeto que se integra en el tiempo para generar deformaciones.

Definición

Un campo de velocidades \(v_t\) es un campo vectorial que cambia con el tiempo: en cada instante \(t\) asigna a cada punto la velocidad con que se mueve. En LDDMM guía el movimiento suave de la deformación.

\[v_t(x)\]

Propiedades: un campo \(v_t\) suave y acotado genera un flujo \(\varphi_t\) formado por difeomorfismos, y la ecuación \(\dot{\varphi}_t=v_t\circ\varphi_t\) define el movimiento de cada punto. Esta regularidad es lo que hace útil el campo en LDDMM.

Ejemplo guía: en \(\mathbb{R}\), con \(v_t(x)=x\) y \(\varphi_0=\mathrm{id}\), la ecuación \(\dot{\varphi}_t=\varphi_t\) da \(\varphi_t(x)=e^{t}x\), que es invertible para cada \(t\).

Error típico: confundir \(v_t(\varphi_t(x))\) con \(v_t(x)\). Si se usa \(v_t(x)=x\) sin evaluar en la posición actual, la ecuación \(\dot{\varphi}_t=x\) da \(\varphi_t(x)=(1+t)x\), que es otro flujo.

Para pensar

¿Qué cambia si usas \(v_t(x)\) en lugar de \(v_t(\varphi_t(x))\) en el flujo?

Se obtiene otra ecuación y otro flujo, porque la velocidad no se evalúa en la posición actual.

Ejercicios 11

  1. En \(\dot{\varphi}_t=v_t\circ\varphi_t\), ¿qué objeto asigna \(v_t\) a cada posición?
  2. ¿Por qué no es equivalente reemplazar \(v_t(\varphi_t(x))\) por \(v_t(x)\) durante todo el flujo?
  3. Si \(v_t\) depende de \(t\), ¿qué significa?
  4. Un campo vectorial suave puede generar un flujo, pero no por eso el flujo conserva todas las distancias. ¿Qué distingue ambas ideas?
  5. Selecciona la única afirmación correcta sobre el campo \(v_t\).
  6. ¿Qué asigna un campo vectorial \(v_t\) a cada punto \(x\) del espacio?
  7. En la ecuación \(\dot{\varphi}_t=v_t\circ\varphi_t\), ¿qué representa \(\varphi_t\)?
  8. ¿Cuál es la velocidad en el instante \(t\) de un punto que sigue el flujo \(\varphi_t\) desde \(x\)?
  9. ¿Qué significa que el campo \(v_t\) sea suave?
  10. Si \(v_t\) es suave y acotado, ¿qué se puede garantizar sobre \(\varphi_t\)?
  11. Sobre \(\mathbb{R}\) se toma \(v(x)=x^2\), que es suave pero no acotado. Con \(\varphi_0(x)=x\) para \(x>0\), ¿en qué intervalo de \(t\) está definido \(\varphi_t(x)\)?

Después de esto

Referencias

  • M. Faisal Beg, Michael I. Miller, Alain Trouvé, Laurent Younes, Computing Large Deformation Metric Mappings via Geodesic Flows of Diffeomorphisms, 2005.