Geometría riemanniana · Definición

LDDMM

geometríageometría riemannianaregistro deformableanatomía computacional

Antes de empezar necesitas conocer

LDDMM organiza el registro de imágenes como un problema de geodésicas en el grupo de difeomorfismos.

Definición

LDDMM (Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping) es un marco de registro que busca una deformación difeomorfa suave \(\varphi_t\), generada por un campo vectorial \(v_t\), con energía mínima \(E_{\min}\).

\[\begin{gathered}\dot{\varphi}_t=v_t\circ\varphi_t\\\varphi_0=\operatorname{id}\end{gathered}\]

LDDMM no es una variedad por sí mismo: es un marco para registrar imágenes y formas mediante deformaciones suaves.

La geometría aparece en el grupo de difeomorfismos, que puede tratarse como un espacio riemanniano de dimensión infinita. La deformación óptima se busca como una geodésica de energía mínima.

En nuestro atlas, una imagen plantilla se transporta hacia otra mediante un flujo \(\varphi_t\). En la ecuación, \(\dot{\varphi}_t\) es la derivada temporal, \(v_t\) el campo vectorial que genera el movimiento, \(\circ\) la composición de funciones y \(\operatorname{id}\) la aplicación identidad inicial. Las imágenes alcanzables por esas transformaciones forman una órbita; por eso LDDMM conecta geometría diferencial, grupos de Lie y registro de imágenes.

Para pensar

¿LDDMM es una variedad?

No. Es un marco de registro; el objeto geométrico central es el grupo de difeomorfismos equipado con una métrica riemanniana.

¿Qué representa una geodésica en LDDMM?

Una trayectoria de deformación suave que conecta la plantilla con el objetivo con un costo o energía mínima.

Ejercicios 10

  1. Si \(\varphi_0=\operatorname{id}\) y se fija \(\varphi_1\), ¿qué distingue a la solución que LDDMM prefiere?
  2. En \(\dot{\varphi}_t=v_t\circ\varphi_t\), ¿qué significa evaluar el lado derecho en un punto \(x\)?
  3. Una discretización produce un campo de velocidades que genera pliegues y deja de ser invertible. ¿Qué se perdió?
  4. Dos flujos alcanzan el mismo objetivo y tienen energías \(E_A=9\) y \(E_B=4\). Si ambos son admisibles, ¿cuál criterio favorece LDDMM?
  5. En geodesic shooting, ¿por qué una velocidad inicial puede determinar la trayectoria completa?
  6. Un método encadena muchos registros par-a-par y llega al objetivo. ¿Qué conclusión NO está justificada solo por ese hecho?
  7. Si \(\varphi_1\) lleva la plantilla al objetivo, ¿qué representa naturalmente \(\varphi_1^{-1}\)?
  8. ¿Qué propiedad caracteriza por sí sola a una deformación difeomorfa admisible?
  9. ¿Qué cambio debilitaría directamente la interpretación de LDDMM como problema geométrico con una métrica?
  10. ¿Cuál de estos elementos aparece explícitamente en la ecuación \(\dot{\varphi}_t=v_t\circ\varphi_t\), \(\varphi_0=\operatorname{id}\)?

Referencias

  • M. Faisal Beg, Michael I. Miller, Alain Trouvé, Laurent Younes, Computing Large Deformation Metric Mappings via Geodesic Flows of Diffeomorphisms, 2005.
  • Center for Imaging Science, Johns Hopkins University, Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping, Johns Hopkins University, 2005.