Geometría riemanniana · Definición

Deformación difeomorfa suave

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Antes de empezar necesitas conocer

En LDDMM, el registro de imágenes se modela como una deformación difeomorfa suave generada por un campo de velocidades. Esta sección fija qué propiedades debe cumplir esa deformación.

Definición

Una deformación difeomorfa suave \(\varphi\) es una transformación biyectiva y suave cuya inversa también es suave.

\[\varphi^{-1}\text{ es suave}\]

Las deformaciones difeomorfas suaves forman un grupo: la composición de dos de ellas es de nuevo un difeomorfismo, y la inversa de cada una también lo es. Esto permite integrar campos de velocidad en el tiempo y obtener deformaciones que no rompen la topología de la imagen.

Ejemplo guía: en el registro de dos imágenes cerebrales, una plantilla se deforma hacia un sujeto mediante \(\varphi\). Si \(\det D\varphi\) permanece positivo en todo el dominio, no aparecen pliegues, y si además \(\varphi\) es biyectiva, su inversa es suave.

Error típico: creer que basta con que \(\varphi\) sea biyectiva y continua para ser un difeomorfismo, o que la regularidad no importa mientras los puntos de referencia coincidan. Ambas ideas ignoran la suavidad de \(\varphi^{-1}\) y pueden producir pliegues.

Para pensar

¿Qué condición sobre \(D\varphi\) garantiza que \(\varphi\) sea localmente un difeomorfismo?

Que \(D\varphi\) sea invertible en cada punto, es decir, que \(\det D\varphi\neq 0\), por el teorema de la función inversa.

Ejercicios 11

  1. Una aplicación \(\varphi:M\to N\) es candidata a difeomorfismo, pero su inversa solo resulta continua y no suave. ¿Qué conclusión es correcta?
  2. Durante un registro, el jacobiano de \(\varphi\) se anula en una región y aparecen pliegues. ¿Qué propiedad queda comprometida?
  3. Si \(f\) y \(g\) son difeomorfismos composables, ¿por qué \(g\circ f\) conserva esa estructura?
  4. Dos deformaciones alcanzan los mismos puntos de referencia, pero una aplasta una región hasta formar un pliegue. ¿Cuál debe descartarse?
  5. ¿Cuál afirmación se sigue necesariamente de que \(\varphi\) sea una deformación difeomorfa suave?
  6. ¿Cómo se llama una transformación suave, biyectiva y con inversa suave?
  7. ¿Qué significa que el jacobiano de \(\varphi\) sea distinto de cero en todo punto?
  8. ¿Qué es el campo de velocidades en LDDMM?
  9. ¿Qué garantiza el teorema de la función inversa para un mapa suave con jacobiano invertible?
  10. Si \(\varphi\) y \(\psi\) son difeomorfismos, ¿cuál es la inversa de \(\psi\circ\varphi\)?
  11. Sea \(\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(\varphi(x)=x^3\). ¿Cuál es la conclusión correcta?

Referencias

  • John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd edition, Springer, 2013.
  • M. Faisal Beg, Michael I. Miller, Alain Trouvé, Laurent Younes, Computing Large Deformation Metric Mappings via Geodesic Flows of Diffeomorphisms, 2005.