Teoría de Lie · Definición

Grupo de Lie

álgebrageometría diferencialteoría de Lie

Antes de empezar necesitas conocer

Los grupos de Lie unen álgebra y geometría: son grupos cuyo conjunto subyacente es también una variedad diferenciable, y sus operaciones respetan esa estructura.

Definición

Un grupo de Lie \(G\) es un grupo que también es una variedad diferenciable, con multiplicación e inversión suaves.

\[\begin{gathered} \\ m:G\times G\to G,\quad (g,h)\mapsto g\cdot h \\ i:G\to G,\quad g\mapsto g^{-1} \\ \end{gathered}\]

Si \(G\) es un grupo de Lie, las traslaciones izquierdas \(L_g:h\mapsto gh\) son difeomorfismos, así que \(G\) se ve igual alrededor de cada punto. La dimensión de \(G\) como variedad es un invariante del grupo.

Ejemplo guía: \((\mathbb{R},+)\) es un grupo de Lie de dimensión 1, porque \(m(a,b)=a+b\) e \(i(a)=-a\) son funciones suaves. Lo mismo ocurre con \(S^1=\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}\) con el producto complejo.

Error típico: creer que basta con que \(G\) sea grupo y variedad por separado. La multiplicación y la inversión deben ser suaves respecto a la estructura de variedad; un grupo topológico con una estructura suave incompatible no es de Lie.

Para pensar

¿Basta con que \(G\) sea grupo y variedad por separado para que sea un grupo de Lie?

No: la multiplicación y la inversión deben ser funciones suaves respecto a la estructura de variedad.

Ejercicios 11

  1. ¿Qué debe cumplir un grupo de Lie además de ser grupo?
  2. Además de la multiplicación, ¿qué otra aplicación debe ser suave en un grupo de Lie?
  3. ¿Cuál es la dimensión de \((\mathbb{R},+)\) como variedad?
  4. ¿Cómo se llama una aplicación suave entre grupos de Lie que respeta la operación de grupo?
  5. ¿Cuál de estos conjuntos con su operación es un grupo de Lie?
  6. En \(S^1\), ¿cuál es el inverso de \(e^{i\theta}\)?
  7. En \((\mathbb{R},+)\), ¿cuál es el inverso de \(a\)?
  8. Si \(G\) tiene dimensión 3 y \(H\) es un subgrupo de Lie cerrado de dimensión 1, ¿cuál es la dimensión de \(G/H\)?
  9. ¿Qué aplicación es la traslación izquierda \(L_g\)?
  10. ¿Cuál es el elemento neutro de \(S^1\) con el producto complejo?
  11. ¿Cuál de estas aplicaciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) es un homomorfismo de \((\mathbb{R},+)\) en \((\mathbb{R},+)\)?

Después de esto