Relaciones y funciones · Definición

Función inyectiva

teoría de conjuntosrelaciones y funciones

Antes de empezar necesitas conocer

Una función inyectiva asegura que cada valor de salida identifica a un único valor de entrada.

Definición

Función \(f\colon A\to B\) en la que elementos distintos de \(A\) tienen imágenes distintas en \(B\).

\[\forall a_1,a_2\in A\,\bigl(f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2\bigr)\]

Sea \(f\colon A\to B\). Es inyectiva si, para dos elementos cualesquiera \(a_1,a_2\in A\), \(f(a_1)=f(a_2)\) implica \(a_1=a_2\). Equivalentemente, \(a_1\ne a_2\) implica \(f(a_1)\ne f(a_2)\). Ambas formulaciones son la misma condición, y para probarla suele bastar con partir de una igualdad de imágenes y despejar.

Ejemplo guía: \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2x+1\), es inyectiva. Si \(2a+1=2b+1\), restando \(1\) y dividiendo por \(2\) se obtiene \(a=b\). En cambio \(g(x)=x^2\) no lo es, porque \(g(2)=g(-2)=4\) con \(2\ne -2\).

Error típico: pensar que inyectiva significa que todo elemento de \(B\) queda alcanzado. Eso es suprayectividad. La inyectividad solo controla que los valores no se repitan, sin exigir nada sobre \(B\). Por eso, si \(A\) y \(B\) son finitos y \(A\) tiene más elementos que \(B\), no puede haber ninguna función inyectiva.

Para pensar

¿Por qué no puede haber una función inyectiva de \(\{1,2,3\}\) en \(\{a,b\}\)?

Hay tres entradas y solo dos salidas, así que dos entradas comparten imagen.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué significa que \(f\colon A\to B\) sea inyectiva?
  2. ¿Cuál de estas funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) es inyectiva?
  3. ¿Cuál es la forma lógica de la definición de función inyectiva?
  4. Si \(f\colon A\to B\) no es inyectiva, ¿qué se cumple?
  5. ¿Puede existir una función inyectiva \(f\colon\{1,2,3\}\to\{a,b\}\)?
  6. Si \(f\) es inyectiva y \(a_1\ne a_2\), ¿qué ocurre con \(f(a_1)\) y \(f(a_2)\)?
  7. Sea \(f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), \(f(n)=2n\). ¿Es \(f\) inyectiva?
  8. Si \(f\colon A\to B\) y \(g\colon B\to C\) son inyectivas, ¿lo es \(g\circ f\)?
  9. ¿Es toda función inyectiva también suprayectiva?
  10. ¿Cuántas funciones inyectivas hay de \(\{1,2\}\) en \(\{a,b,c\}\)?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.