Relaciones y funciones · Definición

Función suprayectiva

teoría de conjuntosrelaciones y funciones

Antes de empezar necesitas conocer

Una función suprayectiva garantiza que ningún elemento del codominio quede sin alcanzar desde el dominio.

Definición

Función \(f\colon A\to B\) cuya imagen es todo el codominio \(B\).

\[\forall b\in B\,\exists a\in A\,(f(a)=b)\]

Sea \(f\colon A\to B\). Decimos que \(f\) es suprayectiva si para cada \(b\in B\) existe al menos un \(a\in A\) con \(f(a)=b\). Equivalentemente, \(f(A)=B\), pues la imagen \(f(A)\) siempre está contenida en \(B\) y la suprayectividad exige la otra inclusión.

Ejemplo guía: \(f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), \(f(n)=n+1\), es suprayectiva, porque para cada \(m\in\mathbb{Z}\) se tiene \(f(m-1)=m\). En cambio \(g\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), \(g(n)=2n\), no lo es: el \(1\) no tiene preimagen, pues \(2n=1\) no tiene solución entera.

Error típico: confundir el codominio con la imagen. Si \(f\colon\{1,2\}\to\{a,b,c\}\), la función puede ser inyectiva, pero nunca suprayectiva, porque toma a lo sumo dos valores. Que el dominio sea grande tampoco basta: lo que se comprueba es que ningún elemento de \(B\) quede fuera de la imagen.

Para pensar

¿Puede una función de un dominio de dos elementos ser suprayectiva sobre un codominio de tres?

No: su imagen tiene a lo sumo dos valores, así que no puede cubrir tres.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué significa que \(f\colon A\to B\) sea suprayectiva?
  2. ¿Cuál de estas funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) es suprayectiva?
  3. ¿Cuál es la forma lógica de la definición de función suprayectiva?
  4. Si \(f\colon A\to B\) no es suprayectiva, ¿qué se cumple?
  5. Sea \(f\colon\{1,2,3\}\to\{a,b\}\). ¿Puede ser \(f\) suprayectiva?
  6. ¿Cómo se llama el conjunto \(f(A)\) de todos los valores que toma \(f\)?
  7. Sea \(f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), \(f(n)=2n\). ¿Cuál es la imagen \(f(\mathbb{Z})\)?
  8. Sea \(A=\{1,2,3,4\}\) y \(B=\{a,b\}\). ¿Cuántas funciones suprayectivas \(f\colon A\to B\) hay?
  9. Si \(f\colon A\to B\) y \(g\colon B\to C\) son suprayectivas, ¿lo es \(g\circ f\)?
  10. Sea \(f\colon\{1,2\}\to\{a,b,c\}\). ¿Puede ser \(f\) suprayectiva?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.