Integrales · Definición

Sumas de Riemann

cálculointegrales

Antes de empezar necesitas conocer

Las sumas de Riemann son la forma más directa de aproximar áreas bajo una curva antes de llegar a la integral definida.

Definición

Una suma de Riemann aproxima el área bajo una curva dividiendo \([a,b]\) en \(n\) rectángulos de ancho \(\Delta x\) y sumando sus áreas, con la altura de cada rectángulo tomada en un punto de su subintervalo.

\[\begin{gathered}\sum_{i=1}^{n}f(x_i^{*})\,\Delta x\\ \Delta x=\frac{b-a}{n}\end{gathered}\]

Una suma de Riemann cubre la región bajo \(f\) con rectángulos de ancho \(\Delta x=\frac{b-a}{n}\) y suma sus áreas. Si \(f\) es continua, aumentar \(n\) mejora la aproximación.

Ejemplo guía: para \(f(x)=x\) en \([0,2]\) con \(n=4\), \(\Delta x=\frac{1}{2}\) y con extremos derechos la suma vale \(\frac{5}{2}\), mientras que con extremos izquierdos vale \(\frac{3}{2}\).

Error típico: olvidar multiplicar por \(\Delta x\) o tomar el extremo equivocado; el tipo de punto elegido cambia el resultado, así que hay que indicarlo siempre.

Para pensar

¿Qué pasa con la suma de Riemann cuando n crece?

Si la función es integrable, se acerca al área (la integral definida).

Ejercicios 10

  1. Calcula la suma de Riemann con extremo derecho de \(f(x)=x\) en \([0,2]\) con \(n=4\) subintervalos iguales.
  2. Calcula la suma de Riemann con extremo izquierdo de \(f(x)=x\) en \([0,2]\) con \(n=4\) subintervalos iguales.
  3. Calcula la suma de Riemann con extremo derecho de \(f(x)=x^{2}\) en \([0,3]\) con \(n=3\) subintervalos iguales.
  4. Calcula la suma de Riemann con extremo derecho de \(f(x)=x^{2} + 1\) en \([0,2]\) con \(n=2\) subintervalos iguales.
  5. ¿Cuál es la fórmula de \(\Delta x\) para dividir \([a,b]\) en \(n\) subintervalos iguales?
  6. Calcula \(\Delta x\) para una suma de Riemann de \(f\) en \([1,5]\) con \(n=8\) subintervalos iguales.
  7. Calcula la suma de Riemann con extremo izquierdo de \(f(x)=4-x\) en \([0,2]\) con \(n=2\) subintervalos iguales.
  8. Calcula la suma de Riemann con extremo derecho de \(f(x)=x^{2}\) en \([0,2]\) con \(n=4\) subintervalos iguales.
  9. Cuando \(n\to\infty\), ¿a qué converge una suma de Riemann de una función continua en \([a,b]\)?
  10. Calcula la suma de Riemann con puntos medios de \(f(x)=x\) en \([0,2]\) con \(n=2\) subintervalos iguales.

Después de esto

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.
  • Michael Spivak, Calculus, 4.ª edición, Publish or Perish, 2008.