Grupos y subgrupos · Definición

Homomorfismo de grupos

álgebra modernagrupos

Antes de empezar necesitas conocer

Para comparar dos grupos hacen falta funciones que respeten su estructura; los homomorfismos son esas funciones.

Definición

Un homomorfismo de grupos es una función \(\varphi\) de un grupo \(G\) en un grupo \(H\) que respeta la operación.

\[\varphi(ab)=\varphi(a)\,\varphi(b)\quad\text{para todo } a,b\in G\]

Respetar la operación significa que da igual operar antes o después de aplicar \(\varphi\). Ejemplos: \(n\mapsto n\bmod m\) de \((\mathbb{Z},+)\) en \((\mathbb{Z}_m,+)\); la exponencial de \((\mathbb{R},+)\) en \((\mathbb{R}^*,\cdot)\); y el determinante de \(GL_n(\mathbb{R})\) en \(\mathbb{R}^*\). La función constante al neutro también lo es, y se llama homomorfismo trivial.

La condición, aparentemente débil, arrastra más propiedades: \(\varphi(e_G)=e_H\) y \(\varphi(g^{-1})=\varphi(g)^{-1}\). Basta ver que \(\varphi(e_G)\varphi(e_G)=\varphi(e_G)\) y cancelar. Por eso no hace falta exigir que se conserven neutros e inversos.

La imagen \(\varphi(G)\) es un subgrupo de \(H\), y la composición de homomorfismos es un homomorfismo. Un homomorfismo de \(\mathbb{Z}_m\) en cualquier grupo queda determinado por la imagen \(a\) del \(1\), que debe cumplir \(a^m=e\); así hay \(\gcd(m,n)\) homomorfismos de \(\mathbb{Z}_m\) en \(\mathbb{Z}_n\).

Error típico: creer que cualquier función que \"se parece\" a la suma sirve. \(n\mapsto n+1\) no lo es, pues lleva \(0\) a \(1\neq e\). Cuando además la función es biyectiva se llega al isomorfismo, y el conjunto de elementos que \(\varphi\) manda al neutro, el núcleo, es el siguiente objeto de estudio.

Para pensar

¿Es \(n\mapsto n^2\) un homomorfismo de \((\mathbb{Z},+)\) en \((\mathbb{Z},+)\)?

No: \(\varphi(1+1)=4\) pero \(\varphi(1)+\varphi(1)=2\).

¿Cuántos homomorfismos hay de \(\mathbb{Z}_5\) en \(\mathbb{Z}_{10}\)?

Hay \(\gcd(5,10)=5\): la imagen \(a\) de \(1\) debe cumplir \(5a\equiv0\pmod{10}\), o sea \(a\) par.

Ejercicios 10

  1. Sea \(\varphi\colon(\mathbb{Z},+)\to(\mathbb{Z}_5,+)\) dada por \(\varphi(n)=n \bmod 5\), que es un homomorfismo. ¿Cuánto vale \(\varphi(12)\)?
  2. ¿Cuál de estas funciones \((\mathbb{Z},+)\to(\mathbb{Z},+)\) es un homomorfismo?
  3. La función \(\varphi\colon(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R}^*,\cdot)\), \(\varphi(x)=e^x\), es un homomorfismo. ¿A qué es igual \(\varphi(2)\cdot\varphi(3)\)?
  4. Para el homomorfismo \(\det\colon GL_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^*\) y matrices \(A,B\), ¿a qué es igual \(\det(AB)\)?
  5. Si \(\varphi\colon G\to H\) es un homomorfismo de grupos y \(e_G\) es el neutro de \(G\), ¿qué es \(\varphi(e_G)\)?
  6. Sea \(\varphi\colon(\mathbb{Z},+)\to(\mathbb{Z}_7,+)\) el homomorfismo \(\varphi(n)=3n \bmod 7\). ¿Cuánto vale \(\varphi(-2)\)?
  7. ¿Cuántos homomorfismos \((\mathbb{Z}_6,+)\to(\mathbb{Z}_6,+)\) existen?
  8. ¿Cuántos homomorfismos \((\mathbb{Z}_{12},+)\to(\mathbb{Z}_8,+)\) existen?
  9. ¿Cuántos homomorfismos \((\mathbb{Z}_5,+)\to(\mathbb{Z}_3,+)\) existen?
  10. Si \(\varphi\colon G\to H\) y \(\psi\colon H\to K\) son homomorfismos, ¿qué función es seguro un homomorfismo?

Referencias

  • David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 2004. §1.6
  • Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 9th edition, Cengage, 2017. cap. 10
  • I. N. Herstein, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 1996. §2.7
  • John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 7th edition, Pearson, 2002. §13