Límites · Definición

Límite de una función

cálculolímites

Antes de empezar necesitas conocer

Antes de calcular límites conviene entender qué significa acercarse a un valor sin llegar a alcanzarlo, y por qué \(f(a)\) puede no importar.

Definición

El límite de \(f\) cuando \(x\) tiende a \(a\) es \(L\) si \(f(x)\) se acerca a \(L\) tanto como se quiera tomando \(x\) suficientemente cerca de \(a\), sin importar qué ocurra en \(x=a\).

\[\lim_{x\to a} f(x)=L\]

Un límite responde a una pregunta muy concreta: «¿hacia dónde se dirige \(f(x)\) cuando \(x\) se acerca a \(a\)?». Fíjate en que la pregunta no es «¿cuánto vale \(f(a)\)?»; la función ni siquiera necesita estar definida en \(a\).

Un ejemplo clásico es \(\frac{x^2-1}{x-1}\) en \(x=1\): ahí la expresión no existe, pero para cualquier \(x\) cercano (distinto de 1) vale \(x+1\), así que los valores se acercan a 2. El límite es 2 aunque \(f(1)\) no exista.

La definición formal (épsilon–delta) solo precisa «tan cerca como se quiera»: para cada tolerancia \(\varepsilon>0\) en la salida existe una distancia \(\delta>0\) en la entrada que la garantiza. Todo el cálculo se apoya en esta idea.

Para pensar

¿Puede existir el límite en a si f(a) no está definida?

Sí. El límite solo mira los valores cercanos a a, no el valor en a.

Con la definición, demuestra que \(\lim_{x\to2}x^2=4\).

Si \(|x-2|<\delta\le1\), entonces \(|x+2|<5\) y \(|x^2-4|=|x-2||x+2|<5\delta\). Tomando \(\delta=\min\{1,\varepsilon/5\}\) se tiene \(|x^2-4|<\varepsilon\).

Ejercicios 20

Calcula los siguientes límites

  1. \(\displaystyle \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)
  2. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\)
  3. \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\)

Problemas

  1. Si \(\lim_{x\to 2} f(x)=5\), ¿qué se puede afirmar con certeza?
  2. ¿Cuál afirmación sobre el límite de f en a es correcta?
  3. ¿Qué significa que \(\lim_{x\to a} f(x)=L\)?
  4. ¿Cuánto vale \(\lim_{x\to 3} 2x\)?
  5. ¿Cuánto vale \(\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}\)?
  6. ¿Cuánto vale \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\)?
  7. Si \(f(x)=1\) para \(x<0\) y \(f(x)=2\) para \(x\ge 0\), ¿cuánto vale \(\lim_{x\to 0} f(x)\)?
  8. ¿Cuánto vale \(\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}\)?
  9. ¿Cuánto vale \(\lim_{x\to a} c\) si \(c\) es una constante?
  10. ¿Cuánto vale \(\lim_{x\to 4}(2x+\sqrt{x})\)?
  11. Para \(f(x)=3x+1\), con límite \(7\) en \(x=2\) y \(\varepsilon=0.3\), ¿cuál es el mayor \(\delta\) que sirve?
  12. Sea \(f(x)=x^2\) si \(x\ne1\) y \(f(1)=5\). ¿Cuánto vale \(\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)\)?
  13. ¿Cuánto vale \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}\)?
  14. Si \(\lim_{x\to2}(x^2+1)=5\) y \(x_n=2+\frac1n\), ¿a qué converge \(f(x_n)=x_n^2+1\)?
  15. ¿Qué par de sucesiones que tienden a \(0\) prueba que \(\sin(1/x)\) no tiene límite en \(0\)?
  16. Para \(f(x)=\sqrt x\), con límite \(2\) en \(x=4\) y \(\varepsilon=0.1\), ¿cuál es el mayor \(\delta\) con \(0<|x-4|<\delta\Rightarrow|f(x)-2|<0.1\)?
  17. Si un \(\delta\) funciona para cierto \(\varepsilon\) en el límite de \(f\) en \(c\), ¿qué es siempre cierto?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.
  • Michael Spivak, Calculus, 4.ª edición, Publish or Perish, 2008.
  • Stephen Abbott, Understanding Analysis, 2nd edition, Springer, 2015. §4.2, Definición 4.2.1
  • Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, 1976. Cap. 4, Definición 4.1
  • Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011. §4.1, Definición 4.1.4