Funciones de varias variables · Definición

Función suave

análisisgeometría diferencial

Antes de empezar necesitas conocer

Una función suave es una función que puede derivarse tantas veces como se quiera, y es el objeto básico de la geometría diferencial.

Definición

Una función \(f\) entre espacios \(M\) y \(N\) con estructura diferenciable es suave, de clase \(C^\infty\), si escrita en coordenadas locales tiene derivadas de todos los órdenes.

\[f\in C^{\infty}(M,N)\]

También se le llama: de clase C^∞

Propiedades: sumas, productos y composiciones de funciones suaves son suaves, y los polinomios y la exponencial en \(\mathbb{R}\) son \(C^{\infty}\).

Ejemplo guía: \(f(x)=x^{5}\) tiene derivadas continuas de todos los órdenes y su sexta derivada es nula, así que \(f\) es \(C^{\infty}\).

Error típico: creer que derivar una vez basta. \(x|x|\) es \(C^{1}\), pero su segunda derivada \(2\,\mathrm{sgn}(x)\) salta en \(0\).

Para pensar

¿Qué diferencia hay entre ser \(C^{1}\) y ser \(C^{\infty}\)?

\(C^{\infty}\) exige derivadas continuas de todos los órdenes, mientras que \(C^{1}\) solo de primer orden.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué significa que \(f\) sea de clase \(C^{\infty}\)?
  2. ¿Cuál de estas funciones de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) es suave?
  3. ¿Qué símbolo denota el conjunto de funciones suaves de \(M\) en \(N\)?
  4. ¿De qué clase es \(f(x)=x^{5}\)?
  5. Sea \(f(x)=x|x|\). ¿De qué clase es \(f\)?
  6. Sea \(f(x)=x^{2}\) si \(x\ge 0\) y \(f(x)=0\) si \(x<0\). ¿Es \(f\) suave?
  7. Si \(f\) y \(g\) de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) son suaves, ¿qué puede decirse de \(g\circ f\)?
  8. Sea \(f(x)=x^{2}\sin(1/x)\) para \(x\ne 0\) y \(f(0)=0\). ¿Qué afirmación es correcta?
  9. ¿Qué es un difeomorfismo entre dos variedades suaves?
  10. Sea \(f(x,y)=x^{2}y+\sin y\). ¿Cuál es \(\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\,\partial y}\)?

Referencias

  • John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, 2nd edition, Springer, 2013.