Acciones y teoremas de Sylow · Definición

Grupo simétrico

álgebra modernagrupos

Antes de empezar necesitas conocer

Es el ejemplo universal de grupo: todo grupo finito vive dentro de alguno de ellos, y sus elementos son los reordenamientos de una lista.

Definición

El grupo simétrico \(S_n\) es el conjunto de las biyecciones \(\sigma\) de \(\{1,\dots,n\}\) en sí mismo, con la composición \(\sigma\tau\) como operación.

\[(\sigma\tau)(i)=\sigma(\tau(i))\]

Una permutación \(\sigma\) se puede describir listando sus imágenes \([\sigma(1),\dots,\sigma(n)]\). El neutro es la identidad, el inverso de \(\sigma\) devuelve cada imagen a su origen, y la asociatividad se hereda de la composición de funciones. Elegir la lista equivale a elegir una imagen distinta para cada elemento, de modo que \(|S_n|=n!\).

Aquí se compone de derecha a izquierda: en \(\sigma\tau\) se aplica primero \(\tau\). Esta convención importa porque, desde \(n=3\), la operación deja de ser conmutativa: \(S_3\) tiene seis elementos y es el grupo no abeliano más pequeño. Los grupos \(S_1\) y \(S_2\) sí son abelianos.

El teorema de Cayley dice que todo grupo finito de orden \(n\) es isomorfo a un subgrupo de \(S_n\), así que estudiar los grupos simétricos es, en cierto sentido, estudiar todos los grupos finitos. En lo que sigue se descompondrán sus elementos en ciclos y se les asignará un signo.

Para pensar

¿Cuántos elementos de \(S_4\) mandan el \(1\) al \(2\)?

Fijada esa imagen, los tres elementos restantes se permutan libremente: \(3!=6\).

Ejercicios 10

  1. ¿Cuántos elementos tiene \(S_4\)?
  2. Escribe una permutación de \(S_3\) como la lista \([\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3)]\). Si \(\sigma=[2,3,1]\) y \(\tau=[2,1,3]\), ¿cuál es \(\sigma\tau\) (primero se aplica \(\tau\))?
  3. ¿Cuál es el elemento neutro de \(S_5\)?
  4. Si \(\sigma=[2,3,1,4]\) en \(S_4\) (lista \([\sigma(1),\ldots,\sigma(4)]\)), ¿cuál es \(\sigma^{-1}\)?
  5. ¿Cuál es el menor \(n\) para el que \(S_n\) no es abeliano?
  6. ¿Cuántas permutaciones \(\sigma\in S_5\) cumplen \(\sigma(1)=1\)?
  7. ¿Cuál afirmación sobre \(S_n\) es verdadera?
  8. ¿Para qué \(n\) tiene \(S_n\) exactamente \(120\) elementos?
  9. En \(S_4\) sean \(\sigma=[2,1,3,4]\) y \(\tau=[1,3,2,4]\). ¿Cuánto vale \((\sigma\tau)(2)\)?
  10. En \(S_4\) con \(\sigma=[2,3,4,1]\) y \(\tau=[1,2,4,3]\), ¿qué permutación \(x\) cumple \(\sigma x=\tau\)?

Referencias

  • David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 2004. §1.3
  • Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 9th edition, Cengage, 2017. cap. 5
  • I. N. Herstein, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 1996. §2.10
  • John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 7th edition, Pearson, 2002. §8