Relaciones y funciones · Definición

Imagen y preimagen

teoría de conjuntosrelaciones y funciones

Antes de empezar necesitas conocer

Imagen y preimagen son las dos formas de trasladar subconjuntos por una función: una avanza desde el dominio hacia el codominio y la otra retrocede.

Definición

Dada \(f\colon A\to B\), la imagen de \(X\subseteq A\) es el conjunto de valores \(f(x)\) con \(x\in X\), y la preimagen de \(Y\subseteq B\) es el conjunto de \(a\in A\) cuyo valor cae en \(Y\).

\[f(X)=\{f(x)\colon x\in X\},\qquad f^{-1}(Y)=\{a\in A\colon f(a)\in Y\}\]

La imagen de \(X\subseteq A\) bajo \(f\) es \(f(X)=\{f(x)\colon x\in X\}\), un subconjunto de \(B\). En particular \(f(A)\) es la imagen de la función, y \(f\) es suprayectiva exactamente cuando \(f(A)=B\). Para \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2\), se tiene \(f([-1,2])=[0,4]\).

La preimagen de \(Y\subseteq B\) es \(f^{-1}(Y)=\{a\in A\colon f(a)\in Y\}\). Para el mismo ejemplo, \(f^{-1}([1,4])=[-2,-1]\cup[1,2]\). La notación \(f^{-1}(Y)\) no supone que \(f\) tenga inversa: la preimagen existe para cualquier función, incluso cuando \(f^{-1}(\{y\})\) tiene varios elementos o ninguno.

Errores típicos: pensar que \(f(f^{-1}(Y))=Y\) siempre. Lo que vale siempre es \(f(f^{-1}(Y))\subseteq Y\), con igualdad solo si \(Y\subseteq f(A)\). Con \(f(x)=x^2\), \(f(f^{-1}([-1,4]))=[0,4]\neq[-1,4]\).

Para pensar

Para pensar: ¿por qué f(f^{-1}(Y)) puede ser más pequeño que Y?

Porque f(f^{-1}(Y)) solo contiene valores que f alcanza y que caen en Y; los puntos de Y fuera de f(A) nunca se alcanzan.

Ejercicios 10

  1. ¿Qué es la imagen de \(X\subseteq A\) bajo \(f\colon A\to B\)?
  2. ¿Qué subconjunto de \(A\) es la preimagen de \(Y\subseteq B\)?
  3. Si \(f\colon A\to B\) es suprayectiva, ¿cuánto vale \(f(A)\)?
  4. Para \(Y\subseteq B\), ¿qué es siempre cierto de \(f(f^{-1}(Y))\)?
  5. Sea \(f(x)=x^2\) de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\). ¿Cuál es \(f([-1,2])\)?
  6. Con \(f(x)=x^2\) de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\), ¿cuál es \(f^{-1}([1,4])\)?
  7. Sea \(f\colon A\to B\) y \(X_1,X_2\subseteq A\). ¿Qué afirmación sobre imágenes es correcta?
  8. ¿Qué es \(f^{-1}(\{y\})\) cuando \(y\) no está en \(f(A)\)?
  9. Sea \(f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=x^2-2x\). ¿Cuál es \(f^{-1}(\{-1\})\)?
  10. Sea \(f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), \(f(n)=n^2\), e \(Y=\{0,1,2,3,4\}\). ¿Cuántos elementos tiene \(f^{-1}(Y)\)?

Referencias

  • Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory, 1st edition, Academic Press, 1977.
  • Thomas Jech, Set Theory (The Third Millennium Edition), 3rd millennium edition, Springer, 2003.