Ejercicio · ZW-FUNCION-GENERADORA-DE-PARTICIONES-010 · ★★★ Avanzado

Sea \(F(x)=\prod_{k\ge1}\frac{1}{1-x^k}\). ¿Cuál es el coeficiente de \(x^5\) en \(F(x)\)? Pista: \(p(5)\) se obtiene contando todas las particiones de 5.

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  • A. 7

Explicación

Las particiones de 5 son siete: \(5\), \(4+1\), \(3+2\), \(3+1+1\), \(2+2+1\), \(2+1+1+1\) y \(1+1+1+1+1\). Omitir una de ellas da 6, y añadir una composición indebida da 8.

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Repasa el concepto: Función generadora de particiones

La función generadora de particiones es la serie formal \(\sum_{n\ge 0} p(n)\,x^n\), donde \(p(n)\) cuenta las particiones del entero \(n\).

\[\sum_{n\ge 0} p(n)x^n=\prod_{k\ge 1}\frac{1}{1-x^k}\]

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