Partición y sumas de Darboux

Para una función acotada \(f\) en \([a,b]\), una partición es una lista \(a=x_0<x_1<\dots<x_n=b\). En cada subintervalo \([x_{i-1},x_i]\) se toman \(m_i=\inf f\) y \(M_i=\sup f\), que existen por la completitud de los reales; \(m_i\Delta x_i\) es el área de un rectángulo inscrito y \(M_i\Delta x_i\) la de uno circunscrito. Cuando \(f\) es continua, el ínfimo y el supremo son realmente un mínimo y un máximo; si no, solo existen como cotas.

Ejemplo guía: \(f(x)=x\) en \([0,1]\) con \(P=\{0,\tfrac12,1\}\) da \(L=\tfrac14\) y \(U=\tfrac34\), y el área \(\tfrac12\) queda en medio. Si \(f\) crece, \(m_i\) está en el extremo izquierdo y \(M_i\) en el derecho; si decrece, ocurre lo contrario. Un error frecuente es tomar siempre extremos izquierdos y derechos sin mirar el comportamiento de \(f\).

Siempre \(L(f,P)\le U(f,P)\). Más aún, un refinamiento \(Q\supseteq P\) acerca ambas sumas: \(L(f,P)\le L(f,Q)\le U(f,Q)\le U(f,P)\). Combinando dos particiones en su refinamiento común se prueba que toda suma inferior es menor o igual que toda suma superior, aunque vengan de particiones distintas.

Esa última propiedad es la que permite tomar el supremo de las sumas inferiores y el ínfimo de las superiores, que es lo que hace la integral de Riemann. Para la función de Dirichlet, en cambio, \(L=0\) y \(U=1\) con cualquier partición: las sumas no se acercan nunca.