Ejercicio · ZW-TEOREMA-DEL-NUMERO-PENTAGONAL-010 · ★★☆ Intermedio
Sea \(c_m\) el coeficiente de \(x^m\) en \(\prod_{n\ge1}(1-x^n)\). ¿Cuál es \(c_{15}\)?
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- A. -1
Explicación
15 es pentagonal con \(k=-3\), pues \((-3)(-10)/2=15\), y su signo es \((-1)^{-3}=-1\). Así que \(c_{15}=-1\).
Repasa el concepto: Teorema del número pentagonal
El teorema del número pentagonal (Euler) afirma que el producto \(\prod_{n\ge1}(1-x^n)\) equals una suma alternada de potencias de \(x\) con exponentes pentagonales generalizados.
\[\prod_{n\ge1}(1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}(-1)^k x^{k(3k-1)/2}\]
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