Sobre \(\mathbb{R}\) se toma \(v(x)=x^2\), que es suave pero no acotado. Con \(\varphi_0(x)=x\) para \(x>0\), ¿en qué intervalo de \(t\) está definido \(\varphi_t(x)\)?
Con \(v(x)=x^2\), la ecuación \(\dot{\varphi}_t=\varphi_t^2\) da \(\varphi_t(x)=x/(1-xt)\), que explota en \(t=1/x\). Sin acotación el flujo no tiene por qué ser global.
Un campo de velocidades \(v_t\) es un campo vectorial que cambia con el tiempo: en cada instante \(t\) asigna a cada punto la velocidad con que se mueve. En LDDMM guía el movimiento suave de la deformación.