Campo vectorial en el plano y el espacio

En el plano un campo es \(\mathbf F=\langle P,Q\rangle\) y en el espacio \(\mathbf F=\langle P,Q,R\rangle\). Cada componente es una función escalar de varias variables, así que todo lo aprendido sobre ellas (dominio, continuidad, evaluación) se aplica componente a componente. Se suman, se restan y se multiplican por escalares igual que los vectores, punto por punto.

Para «ver» un campo se dibuja en cada punto una flecha con su vector. Por ejemplo, \(\langle x,y\rangle\) apunta radialmente hacia afuera y su longitud crece con la distancia al origen; \(\langle -y,x\rangle\) tiene la misma longitud \(\sqrt{x^2+y^2}\) pero es perpendicular al vector de posición y gira en sentido contrario a las manecillas del reloj. Las curvas que siguen las flechas se llaman líneas de campo o de flujo.

Los ejemplos físicos son abundantes: la velocidad de un fluido, un campo eléctrico o gravitacional, la fuerza sobre una partícula. Cuando un campo es el gradiente de una función escalar, \(\mathbf F=\nabla f\), se le llama conservativo y \(f\) es su potencial; esa estructura hará que las integrales de línea dependan solo de los extremos.

Error típico: confundir un campo vectorial con una función escalar. Un campo asigna un vector (varios números) a cada punto; una función escalar asigna uno solo. Otro error es evaluar solo una componente y olvidar que el campo en un punto es el vector completo.