Ejercicio · ZW-CONVEXIDAD-POR-HESSIANA-007 · ★★☆ Intermedio
¿Para qué valores de \(a\) la función \(f(x,y)=x^2+axy+y^2\) es convexa en \(\mathbb{R}^2\)?
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- B. \(|a|\leq 2\)
Explicación
La hessiana es \(\begin{pmatrix}2&a\\a&2\end{pmatrix}\), con valores propios \(2\pm a\), que son no negativos si y solo si \(|a|\leq 2\). La condición \(a\geq 0\) ignora el caso negativo.
Repasa el concepto: Convexidad y matriz hessiana
Criterio que caracteriza la convexidad de una función diferenciable dos veces mediante la hessiana \(\nabla^2 f(x)\), que debe ser semidefinida positiva en cada punto del dominio.
\[f \text{ convexa} \iff \nabla^2 f(x) \succeq 0 \ \forall x \in \operatorname{dom} f\]
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