Función de varias variables

La temperatura en un punto del espacio depende de tres coordenadas, el área de un rectángulo de dos medidas y el costo de un producto de muchos insumos. Con \(n=2\) se escribe \(z=f(x,y)\) y con \(n=3\), \(w=f(x,y,z)\). El conjunto de valores que toma \(f\) es su rango, y el conjunto de puntos donde tiene sentido evaluarla es el dominio.

Cuando solo se da la fórmula, el dominio es el mayor conjunto en que la fórmula tiene sentido: denominadores distintos de cero, raíces cuadradas con argumento no negativo, logaritmos con argumento positivo. Para \(f(x,y)=\sqrt{x-y}\) el dominio es el semiplano \(x\ge y\), y para \(\ln(xy)\) son los puntos con \(xy>0\), el primer y el tercer cuadrantes. Dibujar el dominio en el plano suele ser el primer paso de cualquier ejercicio.

La gráfica de \(f(x,y)\) es la superficie \(z=f(x,y)\) en \(\mathbb R^3\), formada por los puntos \((x,y,f(x,y))\). Para \(f(x,y)=x^2+y^2\) es un paraboloide. Con tres o más variables la gráfica vive en \(\mathbb R^4\) o más y ya no se puede dibujar, así que se usan herramientas como las curvas de nivel, que se estudian a continuación.