Proyección ortogonal

La idea es buscar el múltiplo \(c\,v\) más cercano a \(u\). Se exige que el residuo \(u-cv\) sea ortogonal a \(v\), es decir, \((u-cv)\cdot v=0\), y despejando resulta \(c=\frac{u\cdot v}{v\cdot v}\). Así, \(u=\operatorname{proy}_v u+(u-\operatorname{proy}_v u)\) es la descomposición de \(u\) en una parte paralela y otra perpendicular a \(v\).

Ejemplo guía: para \(u=(4,2)\) y \(v=(1,1)\), \(u\cdot v=6\) y \(v\cdot v=2\); la proyección es \(3(1,1)=(3,3)\) y el residuo es \((1,-1)\), que cumple \((1,-1)\cdot(1,1)=0\). La longitud de la proyección es \(|u\cdot v|/\|v\|\), y la del residuo es la distancia de \(u\) a la recta generada por \(v\).

La proyección solo depende de la recta generada por \(v\): usar \(v\) o \(5v\) da el mismo resultado. Es además lineal en \(u\), es cero exactamente cuando \(u\perp v\), y deja fijos los vectores de la recta (proyectar dos veces es proyectar una). Un error típico es olvidar dividir entre \(v\cdot v\), con lo que solo sale bien si \(v\) es unitario.

Esta construcción es el bloque básico del proceso de Gram–Schmidt, que la aplica una y otra vez para fabricar bases ortogonales, y de los mínimos cuadrados, donde se proyecta sobre subespacios más grandes.