Optimalidad y mínimos cuadrados · Definición
Mínimo local y global en funciones convexas
Antes de empezar necesitas conocer
En optimización, distinguir entre mínimos locales y globales determina si un punto encontrado por un algoritmo es realmente la mejor solución. La convexidad es la propiedad que permite garantizar que ambos coinciden.
Definición
Un mínimo local de una función es un punto donde ningún entorno pequeño contiene valores menores, mientras que un mínimo global es un punto donde la función alcanza el valor más bajo de todo su dominio.
Si f es convexa sobre un conjunto convexo, todo mínimo local es también global, y el conjunto de mínimos forma un conjunto convexo. Además, si f es estrictamente convexa, el mínimo global es único. Estas propiedades se derivan directamente de la desigualdad de convexidad y son el fundamento de los métodos de descenso de Boyd y Vandenberghe.
Considere \(f(x)=(x-1)^2\) en \(\mathbb{R}\). Su gradiente es \(2(x-1)\) y se anula solo en \(x=1\), que es a la vez mínimo local y global. Si además se restringe el dominio a \([2,5]\), el mínimo global pasa a \(x=2\) y es un punto frontera donde el gradiente no es cero, lo que muestra que la condición de gradiente nulo solo se aplica a mínimos interiores.
Un error típico es afirmar que todo punto crítico de una función es un mínimo. Por ejemplo, \(f(x)=x^3\) tiene gradiente nulo en \(x=0\), pero ese punto es un punto de inflexión, no un mínimo. En funciones no convexas, incluso un mínimo local puede estar muy lejos del mínimo global, como ocurre en funciones con varios valles.
Para pensar
Si f es convexa pero no estrictamente convexa, ¿puede tener infinitos mínimos globales? Da un ejemplo.
Sí. Por ejemplo, \(f(x)=\max(|x|-1,0)\) es convexa y alcanza su valor mínimo 0 en todo el intervalo \([-1,1]\).
Ejercicios 10
- ¿Cuál es el valor mínimo de \(f(x)=x^2\) sobre \(\mathbb{R}\)?
- ¿Es el punto \(x=3\) un mínimo global de \(f(x)=(x-3)^2\) sobre \(\mathbb{R}\)?
- Para \(f(x)=x^4\), ¿cuál es el mínimo global sobre \(\mathbb{R}\)?
- ¿Cuál de estos conjuntos describe los mínimos de \(f(x)=|x|\) sobre \(\mathbb{R}\)?
- Si una función convexa tiene un mínimo local en \(x_0\), ¿qué se puede afirmar?
- Sea \(f(x)=(x-2)^2+1\) sobre \([0,5]\). ¿Cuál es el mínimo global y en qué punto se alcanza?
- Sea \(f(x)=x^2-4x\) sobre \(\mathbb{R}\). ¿Cuál es el mínimo global?
- Sea \(f(x)=e^x\) sobre \([-1,2]\). ¿Cuál es el mínimo global?
- Sea \(f(x,y)=x^2+y^2-2x\) sobre \(\mathbb{R}^2\). ¿Cuál es el mínimo global?
- Sea \(f(x,y)=x^2+2y^2\) sobre la recta \(x+y=3\). Halle el mínimo global de f restringida a esa recta.
Referencias
- Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe, Convex Optimization, 1st edition, Cambridge University Press, 2004.
- Jorge Nocedal, Stephen J. Wright, Numerical Optimization, 2nd edition, Springer, 2006.